Циклоидный тип: Циклоидный (циклотимный) тип акцентуации личности по Леонгарду

Типы акцентуации характера по Личко

Содержание

• 1 Акцентуации характера с точки зрения А. Е. Личко
• 2 Гипертимный тип
• 3 Циклоидный тип
• 4 Сенситивный тип
• 5 Шизоидный тип
• 6 Истероидный тип
• 7 Конморфный тип
• 8 Психастенический тип
• 9 Паранойяльный тип
• 10 Неустойчивый тип
• 11 Эмоционально-лабильный тип
• 12 Эпилептоидный тип

Теория акцентуированных личностей Леонгарда быстро доказала свою достоверность и полезность. Однако использование её было ограничено возрастом испытуемых – опросник для определения акцентуации рассчитан на взрослых испытуемых. Дети и подростки, не имея соответствующего жизненного опыта, не могли ответить на ряд вопросов теста, поэтому их акцентуации оказалось затруднительным определить.

Решением этой проблемы занялся отечественный психиатр Андрей Евгеньевич Личко. Он модифицировал тест Леонгарда для определения акцентуаций с целью применения его в детском и подростковом возрасте, переработал описания типов акцентуации, изменил названия для некоторых из них и ввёл новые типы. А. Е. Личко считал более целесообразным изучать акцентуации у подростков, так как большинство из них формируется до подросткового возраста и ярче всего проявляется именно в этот период. Описания акцентуированных характеров он расширил за счёт информации о проявлениях акцентуаций у детей и подростков, изменении этих проявлений по мере взросления. Перу А. Е. Личко принадлежат фундаментальные монографии «Подростковая психиатрия», «Психопатии и акцентуации характера у подростков», «Подростковая наркология».

Акцентуации характера с точки зрения А. Е. Личко

А. Е. Личко первым предложил заменить термин «акцентуации личности» на «акцентуации характера», мотивируя это тем, что нельзя объединять все личностные особенности человека определением только акцентуации. Личность – гораздо более широкое понятие, включающее мировоззрение, особенности воспитания, образованности, реагирования на внешние события. Характер же, являясь внешним отражением типа нервной системы, служит узкой характеристикой особенностей поведения человека.

Акцентуации характера по Личко — временные изменения характера, которые меняются или исчезают в процессе роста и развития ребёнка. При этом многие из них могут переходить в психопатии или сохраняться на всю жизнь. Путь развития акцентуации определяется её выраженностью, социальным окружением и видом (скрытая или явная) акцентуации.

Как и Карл Леонгард, А. Е. Личко считал акцентуации вариантом деформации характера, при которой чрезмерную выраженность приобретают отдельные его черты. Это повышает чувствительность личности к определённым видам влияний и затрудняет адаптацию в некоторых случаях. При этом в целом способность к адаптации сохраняется на высоком уровне, а с некоторыми видами влияний (не задевающими «места наименьшего сопротивления») акцентуированные личности справляются легче обычных.

Акцентуации А. Е. Личко рассматривал как пограничные между нормой и психопатией состояния. Соответственно, их классификация основана на типологии психопатий.

А. Е. Личко выделил следующие типы акцентуаций: гипертимный, циклоидный, сенситивный, шизоидный, истероидный, конморфный, психастенический, паранойяльный, неустойчивый, эмоционально-лабильный, эпилептоидный.

Гипертимный тип

Люди с этой акцентуацией – отличные тактики и плохие стратеги. Находчивы, предприимчивы, активны, легко ориентируются в быстро меняющихся ситуациях. Благодаря этому могут быстро улучшить своё служебное и общественное положение. Однако в отдалённом времени часто теряют положение из-за неумения продумывать последствия своих действий, участия в авантюрах и неправильного выбора товарищей.

Активны, общительны, предприимчивы, настроение всегда хорошее. Дети этого типа подвижны, непоседливы, часто проказничают. Невнимательные и слабо дисциплинированные, подростки этого типа учатся нестабильно. Часто возникают конфликты со взрослыми. Имеют множество поверхностных увлечений. Часто переоценивают себя, стремятся выделиться, заработать похвалу.

Циклоидный тип

Циклоидная акцентуация характера по Личко характеризуется высокой раздражительностью и апатичностью. Дети предпочитают находиться в одиночестве дома вместо игр в компании сверстников. Тяжело переживают любые неприятности, раздражаются в ответ на замечания. Настроение меняется от хорошего, приподнятого, до угнетённого с периодичностью в несколько недель.

При взрослении проявления этой акцентуации обычно сглаживаются, но у ряда лиц могут сохраняться или надолго застревать в одной стадии, чаще угнетённо-меланхоличной. Иногда наблюдается связь перемен настроения с временами года.

Сенситивный тип

Отличается высокой чувствительностью как к радостным, так и к пугающим или грустным событиям. Подростки не любят активных, подвижных игр, не проказничают, избегают больших компаний. С посторонними боязливы и стыдливы, производят впечатление замкнутых. С близкими знакомыми могут быть хорошими товарищами. Предпочитают общаться с людьми младше или старше их. Послушные, любят родителей.

Возможно развитие комплекса неполноценности или сложности с адаптацией в коллективе. Предъявляют высокие моральные требования к себе и коллективу. Имеют развитое чувство ответственности. Усидчивы, предпочитают сложные виды деятельности. Очень тщательно подходят к выбору друзей, предпочитают старших по возрасту.

Шизоидный тип

Подростки этого типа замкнуты, общению со сверстниками предпочитают одиночество или компанию старших. Демонстративно равнодушны и не интересуются общением с другими людьми. Не понимают чувств, переживаний, состояние окружающих, не проявляют сочувствия. Собственные чувства также предпочитают не проявлять. Сверстники часто не понимают их, и поэтому настроены к шизоидам враждебно.

Истероидный тип

Истероиды отличаются высокой потребностью во внимании к себе, эгоцентризмом. Демонстративны, артистичны. Не любят, когда в их присутствии уделяют внимание кому-то другому или хвалят окружающих. Имеется высокая потребность в восхищении со стороны окружающих. Подростки истероидного типа стремятся занять исключительное положение среди ровесников, обращать на себя внимание, влиять на окружающих. Зачастую становятся инициаторами различных мероприятий. При этом истероиды неспособны организовать окружающих, не могут стать неформальным лидером, заслужить авторитет у сверстников.

Конморфный тип

Дети и подростки конморфного типа отличаются отсутствием собственного мнения, инициативы, критичности. Они охотно подчиняются группе или авторитетам. Их жизненный настрой можно охарактеризовать словами «будь как все». При этом такие подростки склонны к морализаторству и очень консервативны. Ради защиты своих интересов представители этого типа готовы на самые неблаговидные поступки, и все эти поступки находят объяснение и оправдание в глазах конморфной личности.

Психастенический тип

Подростки этого типа характеризуются склонностью к размышлениям, самоанализу, оценке поведения окружающих. Их интеллектуальное развитие опережает сверстников. Нерешительность у них сочетается с самоуверенностью, суждения и взгляды безапелляционны. В моменты, когда необходима особая осмотрительность и внимательность, они склонны к импульсивным поступкам. С возрастом этот тип мало изменяется. Часто у них возникают обсессии, служащие средством преодоления тревоги. Также возможно употребление алкоголя или наркотиков. В отношениях мелочны и деспотичны, что мешает нормальному общению.

Паранойяльный тип

Не всегда типы акцентуации характера по Личко включают этот вариант акцентуации в силу его позднего развития. Основные проявления паранойяльного типа появляются к 30-40 годам. В детстве и подростковом возрасте для таких личностей характерна эпилептоидная или шизоидная акцентуация. Основная их черта – завышенная оценка своей личности, а соответственно наличие сверхценных идей о своей исключительности. От бредовых эти идеи отличаются тем, что воспринимаются окружающими как реальные, хотя и завышенные.

Неустойчивый тип

Подростки проявляют повышенную тягу к развлечениям, безделью. Отсутствуют интересы, жизненные цели, их не волнует будущее. Часто их характеризуют как «плывущих по течению».

Эмоционально-лабильный тип

Дети непредсказуемы, с частыми и сильными перепадами настроения. Поводы для этих перепадов – незначительные мелочи ( косой взгляд или неприветливая фраза). В периоды плохого настроения требуют поддержки близких. Хорошо чувствуют отношение к себе окружающих.

Эпилептоидный тип

В раннем возрасте такие дети часто плаксивы. В старшем – обижают младших, мучают животных, издеваются над теми, кто не может дать сдачи. Для них характерны властность, жестокость, самолюбие. В компании других детей стремятся быть не просто главным, а властителем. В группах, которыми они управляют, устанавливают жестокие, самодержавные порядки. Однако их власть держится в значительной мере на добровольном подчинении других детей. Предпочитают условия жесткой дисциплины, умеют угодить руководству, завладеть престижными постами, которые дают возможность проявить власть, установить свои правила.

что это такое, особенности характера

Автор Doctor Feel На чтение 6 мин Просмотров 90 Опубликовано

31. 07.2018

Представителям циклоидного типа личности свойственно попеременно находиться в одной из двух фаз — гипертимной (добродушной, оптимистической) и гипотимной (депрессивной, тоскливой). Периодически у циклоида падает работоспособность, исчезает желание общаться с людьми, снижается психоэмоциональный фон. Во время подъема он активен и жизнерадостен. Увлечения циклоида неустойчивы, в период спада он может забросить важные дела и обязанности.

Представителям циклоидного типа личности свойственно попеременно находиться в одной из двух фаз — гипертимной (добродушной, оптимистической) и гипотимной (депрессивной, тоскливой). Периодически у циклоида падает работоспособность, исчезает желание общаться с людьми, снижается психоэмоциональный фон. Во время подъема он активен и жизнерадостен. Увлечения циклоида неустойчивы, в период спада он может забросить важные дела и обязанности.

Содержание

1. Первые проявления
2. Лабильные циклоиды в подростковом возрасте
3. Общая характеристика
4. Гипертимная фаза
5. Особенности субдепрессивной фазы
6. Преимущества и недостатки характера
7. Примеры
8. Циклоид и общество
9. Реализация в профессии

Первые проявления

В раннем возрасте представители циклоидного типа практически не отличаются от гипертимов, которым свойственны оптимизм, активность, добродушие, трудолюбие. В период полового созревания у циклоида возникает первая депрессивная фаза. Обычно она сопровождается приступами раздражительности, тоскливости.

В эту фазу в первой половине дня подросток чувствует слабость, все валится из рук. Дела, которые раньше давались легко, теперь требуют приложения намного больших усилий. Учиться становится тяжелее, а общество сверстников начинает казаться тягостным. Бойкий подросток превращается в тихого домоседа.

Мелкие неудачи, возникающие по причине снижения работоспособности, воспринимаются болезненно. На замечания преподавателей подросток способен ответить гневом, хотя в глубине души эти слова глубоко его ранят. Более серьезные промахи еще больше усугубляют состояние депрессии. В самых тяжелых случаях в этой фазе могут происходить суицидальные попытки.

Циклоидная акцентуация характера выявляется приблизительно у 2-5% подростков.

Примерно половина этого количества относится к обычным циклоидам, другая же часть — к лабильным (о них будет сказано ниже). В юношеском возрасте (18-19 лет) число циклоидов возрастает, а гипертимов — наоборот, становится несколько ниже. Считается, что определенное число гипертимов могут трансформироваться в циклоидов, переживая короткие депрессивные периоды.

Лабильные циклоиды в подростковом возрасте

Помимо типичных циклоидов, в подростковом возрасте выделяется еще одна подгруппа, представителям которого свойственна лабильно-циклоидная акцентуация. Периоды здесь менее продолжительны: пара-тройка дней подъема сменяется несколькими днями спада. Во время депрессии отмечается скорее сниженный эмоциональный фон, нежели упадок работоспособности.

В пределах каждого периода иногда возникает непродолжительная смена настроения, вызванная внешними событиями. От лабильного типа данный вид отличается отсутствием сильных эмоциональных реакций. Также лабильного циклоида отличает готовность менять психоэмоциональное состояние по незначительным поводам: они могут впасть в депрессию, услышав плохие новости по телевизору, или же став свидетелем ссоры незнакомых людей. С годами фазы увеличиваются, и лабильный циклоид постепенно трансформируется в типичного.

Общая характеристика

Смена фаз у циклоида выражается плавно. Обычно каждый из периодов длится приблизительно 1-2 недели и может перемежаться продолжительным ровным настроением.

Гипертимная фаза

Во время гипертимной фазы (периода подъема) циклоиду свойственны:

• повышенное настроение;
• общительность;
• высокая работоспособность;
• оптимизм, легкость на подъем.

Особенности субдепрессивной фазы

Гипотимная, или субдепрессивная фаза, обычно длится не более двух недель. Она характеризуется:

• сниженным настроением;
• апатией по отношению к тому, что раньше вызывало интерес;
• потерей аппетита;
• болезненным восприятием критических замечаний;
• слабостью по утрам;
• стремлением быть в одиночестве, избегать социума;
• снижением интереса к противоположному полу.

В субдепрессивной фазе циклоид становится очень ранимым. Его легко травмировать, поскольку его самооценка падает. Он может бросить начатое дело, отказаться от поставленных целей. Поэтому в это время важно оказать циклоиду поддержку, чтобы он не утратил тех достижений, которых добился на подъеме. Во время спада с циклоидом полезно поговорить об особенностях его характера и о том, как ему лучше себя контролировать.

Серьезная опасность для представителей данного типа заключается в том, что в стрессовых обстоятельствах подобная акцентуация может вылиться в заболевание — маниакально-депрессивный психоз (биполярное расстройство). В особенности внимательным к своему здоровью следует быть тем, в чьей семье уже имеются случая психических болезней.

Но если даже кто-то из родственников болен, это не говорит о непременном развитии нарушения. Расстройство всегда развивается не само по себе, а как следствие долгого и сильного стресса. Именно от таких факторов циклоиду следует беречь себя, по возможности избегая чрезмерного напряжения.

Преимущества и недостатки характера

Главные плюсы циклоидного характера во время гипертимной фазы — оптимизм, общительность, жизнерадостность. В субдепрессивной фазе плюсами является задумчивость и умение сопереживать. Минусы циклоидного характера обычно проявляются во время спада: это непоследовательность, обидчивость, безынициативность, раздражительность.

Человеку с циклоидной акцентуацией личности необходимо помнить, что перемена в его настроении возникает и исчезает внезапно. Главная цель заключается в том, чтобы до начала новой фазы подъема не совершить досадных ошибок, поссорившись с близкими людьми или бросив важный проект.

Примеры

В качестве примера циклоидного типа может послужить Дон Кихот Сервантеса. Отчасти подобная акцентуация свойственна и Алисе, главной героине произведения Льюиса Кэррола «Алиса в стране чудес».

Можно увидеть такого персонажа и в кинофильме «Мой парень — псих». Но в данном произведении изображена крайность — герой по имени Пэт Солитано страдал от выраженного биполярного расстройства личности.

Циклоид и общество

Обычно такой человек в любой фазе остается хорошим собеседником и прекрасным деловым партнером. Он не стремится к конфликтам, ведет себя доброжелательно и спокойно. Циклоиду свойственны добросердечность и юмор, с которыми он не расстается даже в мгновения самой глубокой печали. В эти моменты он превращается в вежливого одиночку, не проявляющего враждебности.

Его отношениям с близкими людьми также свойственна цикличность. Во время гипертимной фазы циклоид общителен, в период спада повышается риск немотивированного разрыва взаимоотношений. Циклоиды предпочитают по-настоящему дружить с теми людьми, которые принимают их такими, каковыми они являются, и терпимо воспринимают вспышки раздражительности.

Реализация в профессии

Перемены в эмоциональном состоянии циклоида делают его ритм жизни необычным: меняется работоспособность, настроение, общий уровень энергии организма. Психологи рекомендуют циклоидам приспособить к своей акцентуации рабочий график. К примеру, подбирать для себя проектные типы занятости или же свободный график работы. Если циклоид выбирает последний вариант, ему следует помнить, что в гипертимной фазе его рабочие навыки будут на высоком уровне, а на этапе спада придется сложно.

Люди с данной акцентуацией хорошо вписываются в рабочий коллектив и могут переносить трудности даже более стойко, чем их коллеги. Но у них есть свое слабое место — они не любят монотонной и рутинной работы. Циклоидам рекомендуется заниматься такими видами деятельности, которые предполагают разнообразие и гибкий график: журналист, организатор праздников, менеджер проектов, репетитор.

циклоидов

циклоидов

---

Циклоиды, гипоциклоиды, эпициклоиды

Гипотрохоиды и эпитрохоиды

(расследование в движении с использованием GSP)

---

Когда колесо движется по прямой, геометрическое место любой точки на его Окружность будет знакомой кривой, известной как циклоида (щелкните фильм кнопка фильма).

Когда колесо катится внутри круга, точки на окружности кривых следа колеса, известных как гипоциклоиды, тогда как когда колесо катится вне круга эпициклоиды порождены точками на окружность колеса. Наконец, кривые, прочерченные точками внутри колеса называются гипотрохоидами и эпитрохоидами для качения колеса. внутри и снаружи круга соответственно.

 

---

Я заинтересован в этом документе, чтобы увидеть, как мы можем использовать блокнот Geometer’s Sketchpad (GSP) как инструмент для изучения свойств этих фигур. Я утверждаю, что учащиеся узнают гораздо больше о фигурах, написав сценарии GSP. привлечь их, чем они будут из лекции или демонстрации.

Позвольте мне описать, что, по моему мнению, может повлечь за собой процесс обучения:

1. Понимание проблемы

GSP не имеет функции, с помощью которой вы можете сказать ему «крутить колесо». о круг. Тогда первая задача состоит в том, чтобы найти способ, которым это может быть достигнуто, и для этого студент должен будет по-настоящему понять проблема.

То есть нам нужно как-то имитировать катящееся колесо. круг — поскольку катящееся колесо касается круга при вращении, кажется ясно, что, совершив один оборот, колесо должно было коснуться часть круга, равная окружности колеса.

На этом рисунке катящееся колесо имеет радиус одной трети окружности. а после одного оборота колеса «задела» треть круга. Также важно отметить, что радиус колеса прошел через 360 градусов, но угол между начальной точкой на окружность и эта точка касания 360/3 = 120 градусов!

2. Строительство

Теперь, когда мы поняли задачу, мы можем начать с построения. Ключом к построению является тот факт, что мы оба можем анимировать два аспекта. эскиза GSP одновременно и что мы можем быть уверены, что точка движется в одной анимации делает это с той же скоростью, что и точка в другой анимации (при условии, что мы выбрали одинаковую настройку (быстро/нормально/медленно)).

Основа конструкции следующая:

Для окружности с центром O и радиусом OA постройте точку T на окружности круга. Колесо построено по радиусу OT с центром B’. Теперь проще всего было бы анимировать T вокруг центра круга O во время анимации. некоторая точка (S’) вокруг колеса — GSP этого не позволяет (поскольку колесо является результатом точки T, и вы не можете анимировать что-то, что является результат другой анимации) и мы должны ввести второй круг.

Отсюда построение: Дан OA и окружность (центр O, проходящая через А) построить еще одну прямую O’A’ = OA и некоторую точку B на отрезке О’А’. Колесо построено по радиусу OT так, что O’B = B’T, где T равно произвольная точка на окружности. S — произвольная точка на изображении колесо (центр окружности O’ и проходящий через B). Наконец, мы строим S’ так что угол BO’S = угол TB’S’ и если мы теперь анимируем T по кругу и S вокруг изображения колеса получаем искомую кривую, обводя точки’.

Эта конструкция обеспечивает основу для всех различных кривых, которые мы хотим расследовать……

ОДНАКО……..

У конструкции есть небольшая проблема с точностью (что, к сожалению, является функцией программного обеспечения). Есть определенные свойства из этих кривых, которые хорошо известны, а именно: В случае гипоциклоидов (и эпициклоиды), если R/r — отношение радиуса окружности к радиус колеса и R/r рационально, то R будет представлять число точек, а r указывает, сколько раз колесо должно перевернуться круг до завершения рисунка (на рисунках ниже R/r = 3, 4 и 2 соответственно)

Использование нашей конструкции, к сожалению, приводит к некоторым неточностям… (для обсуждения из этих неточностей нажмите здесь почитать переписку от разработчика)

Другая конструкция

Если мы вернемся к нашим первоначальным замечаниям, мы вспомним (а если это не было тогда очевидно — это должно быть после первой конструкции) что есть зависимость между углом, на который повернулось колесо, и угол окружности, по которой он прошел, можно определить по формуле: угол TBS = R/r * угол TOA (и для полной точности: угол TBS = — (R/r *угол ТОА)).

Использование этого метода явно решает проблему неточности, описанную ранее. К сожалению, однако, он вводит другое: в случае, когда R/r равно рационально и r не равно 1, получаем (в случае R/r = 3/2):

Обратите внимание, что локус неполный! Это легко понять, если рассмотреть что на самом деле происходит с нашей конструкцией:

В первом случае (при R/r = 3) при приближении угла TOA к 180 градусам — скажи на 179градусы угла TBS = — (3 * 179) = — 537 градусов, тогда как угол TOA проходит 180 градусов, чтобы сказать 181 градус GSP измеряет угол как — 179 градусов и ТБС = — (3 * — 179) = 537 градусов. К счастью, углы — (3 * 181) = 573 и 537 на самом деле одно и то же равнодействующее движение БС и на эскиз не влияет. Во втором случае (при R/r = 3/2) мы рассмотрим тот же сценарий, когда TOA изменится со 178 градусов на 182 (= — 178) градусов, TBS изменяется от — 267 градусов (- (3/2 * 178) = — 267) до (- (3/2 * -178) = 267 градусов и на этот раз 267 градусов и -267 градусов даю же результирующее движение БС и отсюда новая проблема!

СРАВНЕНИЕ КОНСТРУКЦИЙ

Каждая конструкция имеет некоторые преимущества и, следовательно, некоторую ценность. Величайший Преимущество второй конструкции в том, что мы можем построить гипоциклоиду как локус, который позволяет нам наблюдать влияние изменения R/r без приходится каждый раз анимировать кривую. Нажмите кнопку для Quicktime фильм, который иллюстрирует это замечание:

Одно важное замечание, которое вы должны были сделать, наблюдая за фильма была та же самая ошибка, которая вызывает проблему, когда r в R/r не 1 тоже вызывает затруднения в этой ситуации — сравните следующий ролик из фильм с соответствующей сценой, используя другую нашу конструкцию (R/r = 7/2 в каждом случае):

Так что остается выбор — использовать первую конструкцию, несмотря на ее врожденный недостаток (и повысить точность, внеся некоторые коррективы в фактические размеры R для каждого случая) ИЛИ используйте вторую конструкцию, которая технически ошибочен, но дает более точную иллюзию в пределах определенных параметры (R/r имеет r = 1).

3. Разведка

Теперь мы готовы исследовать свойства циклоидов, Гипоциклоиды, эпициклоиды, гипотрохоиды и эпитрохоиды

Для целей данной статьи я привожу только иллюстрации (как рисунки и видеоролики) и эскизы GSP (для того, чтобы читатель мог с ними поиграть).

 

ГИПОЦИКЛОИДЫ

Чтобы получить доступ к эскизу GSP, используемому для рисования этих гипоциклоид, щелкните значок GSP. кнопка:

Р/р = 2:

Диаметр колеса следов астроида:
R/r = 4:R/r = 4/3

В случае R/r = 4/3 мы получаем точно такую ​​же гипоциклоиду, как и при R/r = 4 (хотя на схеме это не совсем ясно), но след диаметр колеса совсем другой!

 

ЭПИЦИКЛОИДЫ

Чтобы получить доступ к эскизу GSP, используемому для рисования этих эпициклоид, щелкните значок GSP. кнопка:

R/r = 1. Эта эпициклоида называется кардиоидой.

Кардиоида также может быть рассмотрена с использованием некоторых произвольных точек на окружность неподвижного круга как центры кругов, проходящих через пик кардиоиды, как на рисунке выше. Мы можем дальше думать о кардиоида, созданная кругом, катящимся по фиксированному кругу и имеющий удвоенный радиус фиксированной окружности (рассмотрим гипоциклоиду конструкция с R/r = 1/2)

ГИПОТРИХОИДЫ

Чтобы получить доступ к эскизу GSP, используемому для рисования этих гипотрохоид, щелкните значок GSP. кнопка:

R/r = 2, r/f = 2 R/r = 3, r/f = 1/2

R/r = 8, r/f = 1/4

ЭПИТРОХОИДЫ

Чтобы получить доступ к эскизу GSP, используемому для рисования этих эпитрохоид, щелкните значок GSP. кнопка:

R/r = 3/2, r/f = 2

R/r = 2, r/f = 1/2

R/r = 6, r/f = 1/4

---

Две ссылки, которые стоит посетить

А Иллюстрированный словарь специальных плоских кривых

Брайан Интерактивная трохоидная страница Эванса

---

Вернуться на страницу EMT669 Аарноута

---

Празднование циклоиды.

Недавно я обнаружил новую форму — … | Рай Салливан

Недавно я обнаружил новую форму — циклоиду. Никогда об этом не слышал? Теперь у вас есть шанс учиться вместе со мной и удивляться.

[ПРИМЕЧАНИЕ: этот пост не такой длинный, как кажется. Там много картинок.]

Нечасто удается обнаружить новую форму. Я думаю, что большинство из нас полагает, что наши знания о формах уже давно исчерпаны. Мы знаем наши квадраты, круги и треугольники из начальной школы, а позже в старшей школе добавили параболы, эллипсы и синусоиды. Но никто не изучает новую форму в свои 30, верно? Неправильный!

Недавно я обнаружил новую интересную форму: циклоиду. Да, вы правильно прочитали — новая форма. В этом блоге я стремился представить себя (и горстку моих читателей) этой форме. В итоге получилось намного веселее (и зануднее), чем я ожидал. 🧠 🤙

Что такое циклоида?

Согласно Википедии, циклоида определяется как «кривая, описываемая точкой на окружности, когда она катится по прямой без проскальзывания». Возможно, это проще представить с помощью следующей анимированной гифки:

Они видят, как я катаюсь… Циклоид. Магистерский.

Циклоида — это красная кривая, описываемая точкой за пределами круга, когда она катится по линии. Вот именно — это циклоида. Просто, верно? Опять неправильно.

История циклоиды

Циклоиду иногда называют «Еленой геометров», потому что за многие годы она вызвала так много споров среди математиков. Один спор вокруг того, кто открыл форму. Самый древний цитируемый кандидат — биограф Пифагора Ямвлих (ок. 245 г. н.э. — ок. 325 г. н.э.). Среди других упоминается множество эрудитов, включая немца Николая Кузанского (1401–1464), француза Шарля де Бовеля (1475–1566), итальянца Галилео Галилея (1564–1642) и француза Марина Мерсенна (1588–1648). Никто точно не знает, кто заслуживает признания.

Ямвлих: греческий философ, икона моды на тоги и (возможно) первооткрыватель циклоиды. Циклоидная известность, по-видимому, не дает вам мраморного бюста. Источник: Википедия.

Я полагаю, что большинство людей, как и я, слышали только о Галилее, который, как оказалось, был первым человеком, серьезно изучившим циклоиды и давшим им свое имя. Он зашел так далеко, что построил модели циклоид из листового металла, пытаясь понять площадь под кривой циклоиды. Вероятно, ему было бы полезно исчисление. Евангелисте Торричелли (1608–1647), изобретшему ртутный барометр, принадлежит заслуга в том, что в конечном итоге он правильно определил площадь под одной дугой циклоиды BTW.

Со временем циклоиды привлекли внимание известных математиков, включая Рене Декарта (1596–1650), Пьера де Ферма (1607–1626), Блеза Паскаля (1623–1662), Исаака Ньютона (1642–1726), Готфрида Лейбница. (1646–1716), Гийом де л’Опиталь (1661–1704), Иоганн Бернулли (1667–1748), Леонард Эйлер (1707–1783) и Жозеф Луи Лагранж (1736–1813). Это, безусловно, имена, которые я узнаю.

Видимо, им нравилось создавать конкурсы и задачи, связанные с циклоидами, которые заканчивались драками и обзыванием. Например, Паскаль организовал соревнование по вычислению (1) центра тяжести, (2) площади и (3) объема циклоиды с испанским золотом в качестве приза. Трое судей посчитали, что никто не выиграл, что звучит не очень весело. Кристофер Рен (1632–1723), знаменитый проектировщик собора Святого Павла в Лондоне, представил доказательство для определения длины циклоиды во время конкурса, что на самом деле не входило в число вопросов конкурса, но все же довольно круто. Судьи конкурса утверждали, что он уже решил эту задачу много лет назад, но так и не записал ее. Это привело к публичным дракам. Еще менее весело. (Рен опубликовал свою работу и получил признание FWIW.)

Еще одна математическая задача была предложена Бернулли в 1696 году и закончилась мелочностью, но об этом мы еще услышим позже.

Знакомство с циклоидами с помощью математики

Теперь, когда мы познакомились с историей циклоидов, вы можете задать себе те же вопросы геометрии, что и наши мертвые друзья-математики Галилей и Рен: какова площадь под циклоидой? Какова длина пути циклоиды? Другими словами, расскажи мне об этой форме, чувак.

У нас (к счастью) есть математика (и YouTube), чтобы помочь нам.

Существуют параметрические уравнения, отображающие траекторию циклоиды относительно времени (t) по мере того, как круг катится вперед по осям x и y. Я нашел этот вывод YouTube особенно полезным для визуализации его синусоидальной природы. Имеется два уравнения, поскольку положения x и y не зависят друг от друга:

• x(t) = r(t−sin(t))
• y(t) = r(1−cos(t))

Чтобы увидеть эти уравнения в действии, давайте представим, что t = π. В этот момент x(π) = r(π−sin(π)). Поскольку sin(π) = 0, то x(π) = πr. Это половина пути вращения круга, поскольку длина окружности, по которой будет вращаться круг, равна 2πr. Высота будет y(π) = r(1−cos(π)). Поскольку cos(π) = -1, то r(1-(-1))=2 и y(π) = 2r. Это имеет смысл, так как наша точка на окружности будет в самой высокой точке на полпути к рулону, на два полных радиуса выше линии.

Теперь, когда у нас есть уравнения, мы можем использовать вычисления, чтобы найти площадь и длину циклоиды. Да, я поставил перед собой задачу посчитать (не без помощи YouTube и Google). У меня были воспоминания о тригонометрии и исчислении AP с половинными тождествами углов и интегралами. Вот моя работа, со вкусом выполненная маркерами разных цветов:

Как и в большинстве случаев, связанных с кругами, решения просты. Площадь под циклоидой равна 3πr². Удивительно, но Галилей очень близко подошел к соотношению 3:1 между площадью циклоиды (3πr²) и площадью круга (πr²), используя суперстаромодный метод листового металла, упомянутый ранее. Длина циклоиды всего 8r. Это ответ, который Рен получил ранее. Никаких π или чего-то еще в этом решении.

Честно говоря, это красивые ответы. 😘

Циклоиды в физике

Полезны ли циклоиды помимо их элегантности? Встречаются ли они где-нибудь в природе? Хотя циклоиды не достигают высот некоторых своих геометрических родственников, они все же поражают воображение своим появлением в мире природы.

Вернемся к математическому заданию Бернулли 1696 года. Вот как он поставил свою задачу перед ведущими математиками того времени:

Я, Иоганн Бернулли, обращаюсь к самым блестящим математикам мира. Нет ничего более привлекательного для интеллигентных людей, чем честная, сложная проблема, возможное решение которой принесет славу и останется памятником на века. Следуя примеру Паскаля, Ферма и др., я надеюсь получить благодарность всего научного сообщества, поставив перед лучшими математиками нашего времени задачу, которая проверит их методы и силу их интеллекта. Если кто-нибудь сообщит мне решение предложенной задачи, я публично объявлю его достойным похвалы.

Этот человек не боялся говорить о крупной игре — хотя все «Я публично объявлю его достойным похвалы» кажется менее интересным, чем испанское золото, и более чем сексистским. Затем Бернулли поставил свою задачу:

Если даны две точки А и В на вертикальной плоскости, какую кривую описывает точка, на которую действует только сила тяжести, которая начинается в А и достигает В за кратчайшее время.

Другими словами, если шарик перемещается из более высокой точки в более низкую по кривой (при условии, что точки не находятся непосредственно друг под другом), какой путь должен пройти шарик, чтобы завершить путешествие за кратчайшее время ? Это предполагает, что шарик движется в плоскости без трения с однородным гравитационным полем.

Приз Бернулли в виде «похвалы» еще более забавен, учитывая, что он неправильно вывел правильное решение этой задачи, а затем скопировал правильный вывод у своего брата. Угу.

Бернулли дал шесть месяцев на то, чтобы люди представили решения, но никто этого не сделал. Лейбниц выступал за продление срока представления на полтора года. Именно в этот продолжительный период Исаак Ньютон услышал об этой проблеме. Сообщается, что он нашел вызов в письме Иоганна Бернулли в 16:00. когда он вернулся домой с Королевского монетного двора 29 января, 1697. Он не спал всю ночь и на следующий день анонимно отправил правильное решение. Решение было, по-видимому, настолько хорошим и настолько явно принадлежало Ньютону, что Бернулли определил его как человека, «узнавающего льва по следу его когтя». 🐅

Решение Ньютона за один вечер превзошло две недели, которые понадобились Бернулли для решения задачи. Затем, в манере математического микрофона, Ньютон добавил в свое письмо немного пикантности: «Я не люблю, когда иностранцы ругают меня [пристают] и дразнят меня математическими вещами…» Ньютон никогда не был известен как самый приятный человек. Дикий.

Ньютон, самый проницательный циклоидный математик. Источник: Какая культура.

Это самое быстрое решение, найденное Ньютоном и Бернулли, называется кривой брахистохроны, что в переводе с греческого означает «кратчайшее время». Как вы могли догадаться по теме этого блога, кривая брахистохроны является частью пути циклоиды. Ниже видео, которое я нашел в Instagram, показывающее эту кривую в действии. Так же я столкнулся с циклоидами:

Кривая брахистохроны в действии. Это всегда самый быстрый путь для объекта, перемещающегося между двумя точками на разной высоте из-за гравитации. Кривая брахистохроны находится посередине на верхнем изображении, а красная кривая — на втором.

Это невероятно круто. Всегда интересно видеть силу форм в природе.

Еще одна забавная кривая, которая является частью репертуара циклоиды, — это кривая таутохрона, что в переводе с греческого означает «одно и то же время». Вы можете поместить шарик в любое место на этой кривой, и ему потребуется столько же времени, чтобы скатиться на дно. Он также основан на половине циклоиды. Вот эта кривая в действии:

Таутохронная кривая, еще одна удивительная циклоидальная форма. Неважно, куда вы поместите цветной шар на этой кривой, все они одновременно покатятся вниз.

Есть еще нечто, называемое циклоидальным маятником. Представьте, что вы поместили конец маятника в точку встречи двух перевернутых циклоид. Если вы раскачаете маятник, струна будет изгибаться против циклоид на всем своем пути. Форма конца следов маятника — ЕЩЕ ОДИН ЧЕРТОВЫЙ ЦИКЛОИД. 🤯

Циклоидальный маятник между двумя циклоидами, создающий еще одну циклоиду.

Есть множество вариаций, которые вы можете сделать с циклоидами катящегося круга. Вы можете перекатывать круг вперед, но вместо этого отслеживать точку внутри или снаружи периметра круга, чтобы создать более завитые или плоские кривые. Визуализация каждого представлена ​​на изображении ниже:

Вариации циклоидной кривой из ResearchGate.

Вы также можете накатывать круги и фигуры на другие круги и фигуры, чтобы расширить семейство циклоидов, как мы увидим позже.

Наконец-то можно создать циклоиду в физике прямо сейчас, бросив что-нибудь с любой высоты. Движение объекта к земле будет прямой линией вниз. Поскольку земля (круг) немного вращается на пути вниз, путь, по которому будет двигаться падающий объект, будет очень слегка перевернутой циклоидой (хотя и очень маленькой)!²

Мы, циклоиды в литературе

Циклоиды, должно быть, были в моде, потому что они время от времени появлялись в литературе в предыдущие века. Хотя я не буду документировать все случаи, вот один из классического романа Германа Мелвилла 1851 года «Моби Дик :

». косвенно бросается в глаза тот замечательный факт, что в геометрии все тела, скользящие по циклоиде , например, мой мыльный камень спустится из любой точки в одно и то же время.

Циклоиды в архитектуре

Теперь, когда мы все согласились, что циклоиды невероятно круты, я начал задаваться вопросом, пропускал ли я циклоиды где-либо еще в повседневной жизни.

Архитектура полна геометрических форм. Многие из наиболее известных типов арок основаны на кругах (римская арка), эллипсе (полуэллиптическая арка), параболах (параболическая арка) и контактных сетях (цепная арка). Существует множество примеров каждого из них, но я привел несколько наиболее известных из них ниже:

Триумфальная арка в Париже, Франция, представляет собой полукруглую арку, также известную как римская арка. Мост Кью через реку Темзу в Лондоне, Великобритания, представляет собой полуэллиптическую арку. Полуэллиптические арки особенно хороши для создания более широких пролетов арок для таких вещей, как движение лодок и поездов. Мост Биксби-Крик на трассе США 1 в Биг-Суре, Калифорния, представляет собой параболическую арку. Фото: Alamy. The Gateway Arch в Сент-Луисе, штат Мичиган, представляет собой цепную арку. Цепные арки являются самыми прочными из всех форм арок, учитывая их равномерное распределение веса.

Циклоида очень похожа на арку. Так используются ли циклоидные арки в архитектуре? Согласно моим интернет-исследованиям, они есть, но редко. Есть два ярких примера, которые постоянно появляются (в основном из-за их включения в Википедию, посвященную циклоидам).

Первый — это крыша Художественного музея Кимбелла в Форт-Уэрте, штат Техас. Многочисленные арки этой крыши представляют собой серию циклоидов с небольшим пространством между ними. Это дает успокаивающий вид колеса катящегося. Я копаю это. Отличный выбор для художественного музея.

Циклоидные арки в Художественном музее Кимбелла в Форт-Уэрте, штат Техас.

Второй пример циклоидной арки в архитектурном дизайне заставил меня задуматься. На фасаде Центра Хопкинса в Дартмутском колледже в Ганновере, штат Нью-Хэмпшир, есть циклоидные арки. Дартмут — это место, где я учился на бакалавриате, поэтому я буквально видел эту форму каждый день в течение 4 лет. Может поэтому меня так тянет?

Циклоидные арки на фасаде Центра Хопкинса в Дартмутском колледже в Ганновере, Нью-Хэмпшир.

Оказывается, в 2016 году наш журнал для выпускников назвал циклоидные арки Хопа одной из 101 причины полюбить Дартмут. Я не мог удержаться и обратился за дополнительной информацией. Пока ничего существенного в ответ не услышал :

Циклоиды в искусстве и досуге

Вы, наверное, тоже играли с циклоидами в детстве. Игрушка Hasbro Spirograph, которая производится с середины 1960-х годов, основана на модифицированной форме циклоидов, называемых гипоциклоидами. Вместо того, чтобы катить круг по линии, гипоциклоида представляет собой «особую плоскую кривую, образованную следом фиксированной точки на маленьком круге, который катится внутри большего круга».

Игрушка спирограф. Источник: Википедия.

Двумя особыми формами гипоциклоиды являются дельтовидная и астроидная. Вы можете сделать эти формы, ввернув круг внутри другого большого круга с трехкратным и четырехкратным радиусом соответственно:

Дельтовидная (слева) и астроидная (справа) — две особые формы гипоциклоиды.

Вероятно, вы уже видели форму астроида. В логотипе футбольной команды Pittsburgh Steelers три астроида разного цвета. Циклоиды продолжают бить меня близко к дому.

Логотип Pittsburgh Steelers состоит из 3-х астроидов, которые представляют собой особый тип гипоциклоиды.

Если вы находите эти формы успокаивающими, есть ряд художников, которые создают циклоидные рисунки, подобные показанному ниже, включая в свой дизайн несколько вращающихся кругов разных размеров:

Циклоидная художественная машина, которую я нашел на Pinterest.Циклоидная графика для продажи на Kickstarter.

Циклоиды в оптике

Вы также можете катить круги снаружи других кругов и отслеживать их путь, чтобы получить дополнительные производные циклоиды. Одним из частных случаев этой категории является кардиоида. Это форма, созданная путем отслеживания точки на краю круга, катящегося по 90 239 снаружи 90 240 другого круга с таким же радиусом. Путь этой циклоиды имеет ровно один пик, как показано ниже, и напоминает сердце (отсюда и название):

Кардиоида — еще один особый класс циклоид.

Кардиоиды постоянно появляются в природе, особенно в каустиках, созданных из двух круглых поверхностей. В оптике каустика определяется как «оболочка световых лучей, отраженных или преломленных искривленной поверхностью или объектом, или проекция этой оболочки лучей на другую поверхность. Каустика — это кривая или поверхность, к которой касается каждый световой луч, определяющая границу огибающей лучей как кривую концентрированного света».

Мы видим кардиоиды в каустике, созданной множеством круглых объектов, от кофейных чашек до часов.

Кардиоида в каустике кофейной чашки. Кардиоида в каустике часов.

Следите за этой формой, когда в следующий раз будете садиться за чашку чая утром! ☕️

Граница центральной области множества Мандельброта (известного фрактальной геометрией и теорией хаоса) также является точной кардиоидой. Я действительно не понимаю, как и почему, но это кардиоида, которая выглядит иначе. Шум. 👍

Центральная область первого периода множества Мандельброта является точной кардиоидой.

Циклоидные формы не ограничиваются только кругами. Вы также можете накатывать некруглые формы на другие фигуры и знакомиться с целым рядом новых форм, называемых циклогонами. Например, вот циклогон для качения треугольника и квадрата по прямой:

Одна арка циклогона, образованная равносторонним треугольником, катящимся по прямой без проскальзывания. Источник: Википедия. Одна арка циклогона, образованная квадратом, катящимся по прямой без проскальзывания. Источник: Википедия.

Циклоиды в космосе

Наблюдение за явлением циклоиды не ограничивается микромасштабом вращающихся колес, часов, чашек и спирографов. Они также видны на планетарном уровне. Поскольку спутник Юпитера Европа (меньший круг) вращается вокруг большой планеты (большой круг), гравитационные силы (линия), действующие на поверхность Луны, имеют циклоидальный характер.