Гадкий я карточка 51: Гадкий Я 3 Карточка №51 Агнес+Пушистик блестяшка

Как жульничать в картах

Конфиденциальность и файлы cookie: этот сайт использует файлы cookie. Продолжая использовать этот веб-сайт, вы соглашаетесь на их использование.
Чтобы узнать больше, в том числе о том, как управлять файлами cookie, см. здесь: Политика в отношении файлов cookie

В детстве я не хотел быть математиком — я даже не знал, что это работа. Вместо этого на короткое время я мечтал стать карточным шулером по борьбе с преступностью. Мой интерес возник после телесериала «Меч справедливости », где главный герой получил некоторую помощь от карточных шулеров в своем стремлении уничтожить презренный преступный синдикат, который подставил его и отправил в тюрьму. (Вступительные титры на YouTube подтвердят великолепие программы.)

Несмотря на несовместимость борьбы с преступностью и мошенничества с картами, я сказал своей семье, что выбрал именно эту профессию. К сожалению, у меня это не очень хорошо получалось, обычно я объявлял о своих намерениях сжульничать, прежде чем предлагать сыграть с кем-нибудь в быструю игру. Тем не менее, по сей день моя семья отказывается играть со мной в карты — даже Уно.

По пути я все же кое-чему научился. Итак, позвольте мне объяснить вам впечатляющий трюк, который знают все лучшие карточные шулеры и за которым скрывается интересная математика.

Идеальная перетасовка

Каждый чит-код должен создавать видимость перетасовки колоды карт, чтобы она оставалась в порядке. Тем не менее, есть вполне законная тасовка, которая позволяет нам жульничать: идеальная тасовка. Он смешивает карты, но совершенно известным и определенным образом.

Идеальная тасовка.

Стандартная колода состоит из 52 карт. Разделите их на две равные стопки, а затем переплетите стопки так, чтобы новый порядок карт чередовался между двумя стопками.

Эффект на колоде показан справа, где карты пронумерованы от 0 до 51 по причинам, которые станут понятны позже.

Инструкции по перетасовке даны ниже. По общему признанию, это непросто, и требуется много практики, но после того, как вы выучите, оно приносит удовлетворение и вызывает впечатляющую реакцию «вау!» при выполнении.

Восемь идеальных тасовок

Что мы можем делать с идеальной тасовкой, когда мы ее выучили? Во-первых, у нас есть интересный и, надеюсь, неожиданный факт:

Идеально перетасуйте колоду восемь раз. Теперь он вернулся в том порядке, с которого вы начали!

Модульная арифметика также используется часами: они считают время по модулю 12.

С этим вы можете проделать удивительный трюк. Поместите колоду в новый порядок колоды. Если вы идеально перетасуете ее пять раз , то колода будет выглядеть перетасованной. Узоры есть, если приглядеться, но можно показать кому-нибудь и с каменным лицом сказать, что это перепутано. Сделайте идеальное перемешивание три раз для них — так что теперь вы сделали это в общей сложности восемь раз — и, к удивлению вашего зрителя, колода внезапно оказалась в порядке!

Как мы можем использовать математику, чтобы доказать этот удивительный факт? Начнем с нумерации карт. Как и выше, сверху вниз мы будем нумеровать их от 0 до 51, а не от 1 до 52, как обычно.

Далее используем модульную арифметику. Арифметика по модулю $n$ — это когда мы считаем все числа, имеющие одинаковый остаток после деления на $n$, эквивалентными числами. Таким образом, $5=17 \mod 4$ означает, что 5 и 17 эквивалентны по модулю 4, поскольку они оба имеют остаток 1 после деления на 4. Иногда вместо знака равенства пишут $5\equiv 17 \mod 4$.

С нашей нумерацией от 0 до 51 формула для определения того, куда переходит карта после идеального тасования, относительно проста:

(За исключением карты 51) карта с позиции $x$ переходит на позицию $2x \mod 51$.

Например, карта 7 идет на $ 2 \times 7 \mod 51 = 14 \mod 51$, то есть на позицию 14. Обратите внимание, что это 15-я физическая карта в колоде, так как мы начали считать с 0.

Аналогичная карта 35 переходит в \begin{align*} 2 \times 35 \mod 51 &= 70 \mod 51 \\ &= 51 + 19\mod 51\\ &= 19. \end{align*} То есть карта 35 помещается на позицию 19.

Обратите внимание, что карта 7 становится ниже в колоде, а карта 35 выше. Итак, сразу же мы видим, что идеальное тасование начинает смешивать карты.

Формула имеет исключение для карты 51. На рисунке на предыдущей странице легко увидеть, что эта карта не перемещается, поэтому нам не нужно беспокоиться об этом в формуле — мы будем игнорировать ее с этого момента. на.

Но почему этот результат $x\mapsto 2x \mod 51 $ верен? Рассмотрим сначала верхнюю половину колоды, то есть все карты в позициях от 0 до 25. Во время тасовки две карты в паре последовательных карт получают карту между собой. Таким образом, новые позиции верхних половин карт будут умножены на 2. Поскольку у нас может быть не более $2\times 25=50$, что меньше 51, мы получаем $x\mapsto 2x\mod 51$, поскольку $2x$ в этом случае фактически равно $2x\mod 51$ (а не просто конгруэнтно).

Для нижней половины карт мы видим, что их позиции также должны быть умножены на 2, так как они получают карты между собой. Тем не менее, мы отмечаем, что карта 26 ( верхняя карта нижней половины колоды) должна перейти на позицию 1 (вторая физическая позиция карты!). Один из способов сделать это — взять mod 51 (поскольку $2\times 26 \mod 51 = 1$). Легко проверить, что мы можем использовать это для всех остальных карт.

Теперь давайте посмотрим, что произойдет, если мы сделаем восемь идеальных тасовок с определенной картой, скажем, с картой 12. Мы просто повторим процесс, когда карта в позиции $x$ переместится в позицию $2x \mod 51$: \[ \begin {массив} {lcccr} {\ text {один раз}} & 12 & \ to & 24 \ mod 51 & & \\ {\ text {дважды}} & 24 & \ to & 48 \ mod 51 & & \\ {\ текст {три раза}} & 48 & \to & 96 \mod 51 & =& 45\mod 51 \\ {\text{четыре раза}} & 45 &\to & 90 \mod 51 &=& 39\mod 51 \\ {\text{пять раз}} & 39 & \to & 78 \mod 51 & =& 27\mod 51 \\ {\text{шесть раз}} & 27 &\to & 54 \mod 51 &=& 3 \mod 51 \\ {\text{семь раз} }} & 3 & \to & 6 \mod 51 & & \\ {\text{восемь раз}} & 6 & \to & 12 \mod 51 &=& 12 \mod 51. 8 x \mod 51 &= 256 x \mod 51 \\ &=\left( (5\times 51) x + x \right) \mod 51\\ & =\left( 0 + x \right) \mod 51\\ &=x. \end{выравнивание*}

Таким образом, мы доказали, что восемь перетасовок перемещают карту с позиции $x$ обратно на позицию $x$. Если в нашей колоде разное количество карт, то количество идеальных перетасовок, необходимых для возвращения колоды в исходный порядок, будет разным. Например, колода из 50 карт нуждается в 21 идеальном тасовании. Количество перетасовок, необходимых для колоды, называется порядком . В следующей таблице показан порядок идеального перетасовки выбранных колод, где $N$ обозначает количество карт:

Слово порядок возникает из-за связи с теорией групп и порядком элементов определенной группы. Подробности этого и многих других сложных математических фактов можно найти в книге Magic Tricks, Card Shuffling and Dynamic Computer Memories С. Брента Морриса: одно из ее приложений представляет собой список всех заказов на $N$ до 200.

Двоичное развлечение с идеальным тасованием

До этого момента я говорил о как о идеальном тасовании, т.е. единственном числе. На самом деле, есть два типа:

• Идеальная тасовка: верхняя карта остается верхней картой.
• Идеально в тасовке: верхняя карта становится второй картой.

Идеально в случайном порядке.

Идеальная тасовка — это именно то, что называют идеальной тасовкой. В случайном порядке это новый. Его влияние на порядок колоды можно увидеть ниже — верхняя карта оказывается «в» колоде.

Объединив карты в тасовку и перетасовку, мы можем переместить верхнюю карту в любое место колоды. И, как мы увидим, с математической точки зрения мы получаем удивительный вид двоичного кода.

Алекс Элмсли (1929–2006) был математиком и фокусником. Он изучал физику и математику в Кембриджском университете, прежде чем заинтересовался компьютерами. Среди фокусников он известен тем, что изобрел убедительный ложный счет карт, который теперь известен как счет Элмсли.

Элмсли очень интересовался идеальной тасовкой (которая среди фокусников также известна как тасовка Фаро) и исследовал математику, лежащую в ее основе. В частности, он нашел метод перемещения верхней карты в любую позицию в колоде с помощью последовательности перетасовок.

Предположим, мы хотим переместить верхнюю карту на позицию $k$ в колоде. (Мы сохраняем нумерацию карт от 0 до 51, так что верхняя карта находится в позиции 0.) Чтобы переместить карту через последовательность перетасовок внутрь и наружу, мы действуем следующим образом:

Преобразуем $k$ в двоичный код. Затем перетасуйте и перетасуйте, где $\text{out} = 0$ и $\text{in} = 1$.

Обратите внимание, как здорово, что «o» выглядит как 0, а «i» — как 1.

Например, предположим, что мы хотим переместить верхнюю карту на позицию 13. Итак, 13 записывается как 1101 в двоичном формате. Итак, мы делаем «i i o i»: in in out in.

Перемещение верхней карты на позицию 13.

Так почему же это работает? Представьте, что у нас есть карта на позиции $x$ в верхней половине колоды. (Случай с нижней половиной аналогичен и, конечно, оставлен в качестве упражнения.) Что делает перетасовка с двоичным представлением числа? Так как аут-тасовка равна $x\mapsto 2x \mod 51$, она просто добавляет ноль к представлению. Итак, карточка с позиции 101 перемещается на 1010. Это ничем не отличается от того, когда мы говорим детям, что для умножения на 10 они могут просто поставить 0 в конце.

Теперь перетасовка задается как \[ x\mapsto 2x +1 \mod 52 . \] То есть умножить на 2, добавить 1 и взять по модулю 52 (заметьте, не 51 в этот раз). Это можно проверить так же, как и для тасовки. Для двоичного представления это просто добавит 1 в конец. Таким образом, карта с позиции 101 перемещается на позицию 1011.

Чтобы собрать все это вместе, рассмотрим, что происходит в приведенном выше примере, где мы перемещаем верхнюю карту на позицию 13. То есть мы применяем in in out in и отслеживаем прогресс исходной верхней карты. Первый в тасовке перемещает верхнюю карту на позицию 1 в колоде. Второй в перетасовке перемещает его на 11. Исходящий перемещает его на 110, а последний входящий перемещает его на позицию 1101.

Итак, это неожиданное и очаровательное появление двоичного кода, но он перемещает только одну карту. Это полезно, но давайте посмотрим, как мы можем переместить больше карт и обмануть в реальной игре.

Сдача четырех тузов

Впечатляющая часть мошенничества — сдать себе четыре туза в игре в покер — это рука, которую трудно побить. Для нашей версии нам нужна игра с тремя другими игроками. Выньте четыре туза и положите их сверху. Карточный шулер может сделать это тайно с легкостью. Теперь сделайте два идеальных тасования. Раздайте карты, начиная с себя, т.е. ходите по кругу, давая каждому человеку по карте, пока у каждого не будет по пять карт. Теперь у вас есть рука с четырьмя тузами!

Причина, по которой это работает, проста. В начале колода (начиная сверху) выглядит как

AAAAxxxxxxx…

, где A обозначает туз, а x обозначает безразличную карту (значение которой не имеет значения).

Две идеальные тасовки дают вам все тузы (зеленые).

Проведите первую перетасовку и нейтральные карты поместите между тузами. Итак, мы получаем

AxAxAxAxxxxxxx…

Делаем вторую перетасовку, и мы получаем сет, готовый к хорошей раздаче, когда есть еще три игрока:

AxxxAxxxAxxxAxxxxxxx…

Ну, конечно, если вы будете постоянно жульничать и выигрывать, люди это заметят. Чтобы избежать этого, профессиональные мошенники часто работали парами, и выигрыш чередовался между двумя мошенниками, что уменьшало шансы на обнаружение. Так что в этой игре в покер с четырьмя игроками вам нужен сообщник. Предположим, вы сидите в кругу, и сначала вы имеете дело с человеком слева от вас, а затем двигаетесь по часовой стрелке.

АААА!

Где бы ни сидел ваш сообщник, вы сможете сдать ему четыре туза. Как и прежде, расставьте четыре туза сверху. Предположим, ваш партнер сидит на позиции 3. Вам нужно сдать ему третью карту — карту на позиции 2 в нашей нумерации. Давайте переместим этого старшего туза на позицию 2. В двоичном коде число 2 равно 10, поэтому мы делаем идеальные тасовки «io». Эй, вуаля, старший туз теперь на правильном месте, и, кроме того, другие тузы тоже, так как два перетасовывания помещают по три карты между каждым из них. Обычная сделка теперь даст вашему соучастнику все четыре туза. Давайте посмотрим, что на диаграмме:

start: AAAAxxxxxxx…
in shuffle: xAxAxAxAxxxxx…
out shuffle: xxAxxxAxxxAxxxAxxxxx…

Где бы ваш партнер ни сидел, чтобы перетасовать его, вы можете сделать правильную последовательность!

Если вы хотите узнать больше о тасовке карт и математике, то лучшая книга для чтения (как уже упоминалось) Magic Tricks, Card Shuffling and Dynamic Computer Memories S Brent Morris. И помните, мошенничество с картами — это преступление, так что не попадайтесь!

Как правильно тасовать

Разделение колоды. Изображение: C Houston

Для идеального тасования нужны карты в хорошем состоянии, поэтому купите новую колоду, чтобы учиться, и не используйте ее ни для чего другого — карты, сложенные в карточных играх, не будут хорошо переплетаться. Существуют различные методы для достижения идеального перемешивания. Этот вариант делается «в руках», но некоторые можно делать и на столе, и это не выглядит подозрительно.

Подравнивание карт. Изображение: C Хьюстон

Держите нижнюю половину колоды в левой руке, сложив пальцы так, как указано выше. Правая рука имеет аналогичный хват, но не доходит до конца, и указательный палец иногда касается верхней части колоды, а иногда нет.

Соедините карты вместе, чтобы сделать их квадратными. Если карты не квадратные, то идеальное тасование невозможно. Сожмите половинки вместе, при этом указательный палец правой руки должен касаться обеих верхних карт, чтобы половинки можно было поставить на место.