Из чего сделать цифру на день рождения: Цифры на день рождения своими руками: 50 идей с фото

Проблема 1: Экспоненты не интуитивны

Мы изучили математику и статистику, но не будем себя обманывать: это неестественно.

Вот пример: какова вероятность выпадения 10 орлов подряд при подбрасывании монеты? Нетренированный мозг может подумать так:

«Ну, получить одну голову — это 50% шанс. Получить две решки в два раза сложнее, поэтому шанс 25%. Получение 910$ или около 0,001.

Но даже после тренировки нас снова ловят. При процентной ставке 5% мы удвоим наши деньги за 14 лет, а не за «ожидаемые» 20 лет. Вы естественным образом вывели правило 72-х, узнавая о процентных ставках? Возможно нет. Понять составной экспоненциальный рост с помощью нашего линейного мозга сложно.

Проблема 2: Люди немного эгоистичны

Посмотрите новости. Обратите внимание, сколько негативных новостей является результатом действий без учета других. Я оптимист и 9От 0013 до есть надежда для человечества, но это отдельный разговор :).

В комнате с 23 людьми вы думаете о 22 сравнениях, где ваш день рождения сравнивается с чьим-то еще? Наверное.

Вы думаете о сравнениях 231 , когда кого-то, кто не вы, сравнивают с кем-то другим, кто не вы? Ты понимаешь, что их так много? Возможно нет.

Тот факт, что мы пренебрегаем в 10 раз большим количеством сравнений, которые не включают нас, помогает нам понять, почему может произойти «парадокс».

Хорошо, хорошо, люди ужасны: покажите мне математику!

Вопрос: Каковы шансы, что у двух человек день рождения в группе из 23 человек совпадает?

Конечно, мы могли бы перечислить пары и подсчитать все возможные совпадения. Но это сложно: совпадений может быть 1, 2, 3 или даже 23!

Это все равно что спросить: «Какова вероятность того, что при 23 подбрасываниях монеты выпадет один или несколько орлов?» Есть так много возможностей: решка при первом броске, или 3-м, или последнем, или 1-м и 3-м, 2-м и 21-м, и так далее. 923, но поработайте со мной здесь), есть 99% шанс иметь хотя бы одну голову . Не знаю, 1 решка, или 2, или 15, или 23: у нас есть решки, и это главное. Если мы вычтем вероятность проблемного сценария из 1, мы получим вероятность хорошего сценария.

Тот же принцип применим и к дням рождения. Вместо того, чтобы найти все способы, которыми мы совпадаем, находят шанс того, что все разные, «проблемный сценарий» . Затем мы берем противоположную вероятность и получаем шанс на совпадение. Это может быть 1 совпадение, или 2, или 20, но кто-то совпал, что нам и нужно найти.

Объяснение: подсчет пар (приблизительная формула)

Из 23 человек у нас получается 253 пары:

(Если хотите, освежите в памяти комбинации и перестановки).

Вероятность того, что 2 человека имеют разные дни рождения:

Имеет смысл, верно? При сравнении дней рождения одного человека с днем ​​рождения другого в 364 из 365 сценариев они не совпадут. Отлично.

Но провести 253 сравнения и сделать так, чтобы они все были разными, это все равно, что получить орёл 253 раза подряд — вам приходилось каждый раз уворачиваться от «решки». Давайте получим приблизительное решение, представив, что сравнение дней рождения похоже на подбрасывание монеты. (См. Приложение A для точного расчета.)

Мы используем показатели степени, чтобы найти вероятность:

Наши шансы получить один промах довольно высоки (99,7260%), но когда вы используете этот шанс сотни раз, шансы сохранить эту серию падают. Быстрый.

Вероятность совпадения: 1 – 49,95% = 50,05%, или чуть больше половины! Если вы хотите найти вероятность совпадения для любого количества людей, формула будет следующей:

Интерактивный пример

Я не верил, что нам нужно всего 23 человека. Математика работает, но реально ли это?

Ещё бы. Попробуйте пример ниже: выберите количество предметов (365), количество людей (23) и проведите несколько испытаний. Во время испытаний вы увидите теоретическое совпадение и фактическое совпадение. Вперед, нажмите кнопку (или просмотрите страницу целиком).

По мере того, как вы проводите все больше и больше испытаний (продолжайте нажимать!), фактическая вероятность должна приближаться к теоретической.

Примеры и выводы

Несколько уроков из парадокса дня рождения:

• $\sqrt{n}$ — это примерно то число, которое вам нужно, чтобы иметь 50%-й шанс совпадения с n предметами. $\sqrt{365}$ составляет около 20. Это используется в криптографии для атаки на день рождения.
• Несмотря на то, что существует 2 ¹²⁸ (1e38) GUID, у нас есть только 2 ⁶⁴ (1e19) для использования до 50% вероятности столкновения. А 50% — это очень, очень много.
• Вам нужно всего 13 человек, чтобы подобрать буквы алфавита, чтобы вероятность совпадения составила 95%. Попробуйте выше (людей = 13, предметов = 26).
• Экспоненциальный рост быстро снижает вероятность подбора уникальных предметов (он же увеличивает шансы совпадения).
  Помните: экспоненты не интуитивны, а люди эгоистичны!

После долгих размышлений парадокс дня рождения, наконец, пришел ко мне. Но я все же проверю интерактивный пример, чтобы убедиться.

Приложение A: Объяснение повторного умножения (точная формула)

Помните, мы предполагали, что дни рождения независимы? Ну, это не так.

Если Человек A и Человек B совпадают, и Человек B и C совпадают, мы знаем, что A и C также должны совпадать. Результат сопоставления A и C зависит от их результатов с B, поэтому вероятности не являются независимыми. (Если бы A и C были действительно независимыми, вероятность совпадения составила бы 1/365, но мы знаем, что совпадение гарантировано на 100 %.)

При подсчете пар мы относились к совпадениям дней рождения как к подбрасыванию монеты, умножая одну и ту же вероятность снова и снова. . Это предположение не совсем верно, но его достаточно для небольшого числа людей (23) по сравнению с размером выборки (365). Маловероятно, что несколько человек совпадут и испортят независимость, так что это хорошее приближение.

Маловероятно, но может случиться. Давайте посчитаем реальные шансы того, что каждый человек выберет другой номер:

• Первый человек имеет 100% вероятность того, что выпадет уникальный номер (конечно)
• Второй имеет шанс (1 – 1/365) (все, кроме 1 числа из 365)
• Третий имеет шанс (1 – 2/365) (все числа, кроме 2)
• 23-й номер имеет (1–22/365) (все номера, кроме 22)

Умножение выглядит довольно уродливо:

, поэтому

Используя наш удобный ярлык, мы можем переписать большое уравнение так:

Но мы помним, что сложение чисел n + n = 1 к n) /2. Не путайте это с n(n-1)/2, что равно C(n,2) или количеству пар из n элементов. Они выглядят почти одинаково!

Прибавляя 1 к 22, мы получаем (22 * 23)/2:

Уф. Это приближение очень близко, подставьте ниже свои цифры: 92 / (2 \cdot 365)} \примерно 1$ .

Приложение B: Общая формула дня рождения

Давайте обобщим формулу для выбора n человек из T всего предметов (вместо 365):

) и решить для n :

Вуаля! Если вы возьмете $\sqrt{T}$ предметов (на 17% больше, если вы хотите быть разборчивым), у вас будет примерно 50-50 шансов получить совпадение.