Основы формальной логики разработал: 8. Основы формальной логики.

Аристотель, Лейбниц, Буль

Аристотель, Лейбниц, Буль

Аристотель, Лейбниц, Буль

    Математическая логика тесно связана с логикой и обязана ей своим возникновением. Основы логики, науки о законах и формах человеческого мышления (отсюда одно из ее названий — формальная логика), были заложены величайшим древнегреческим философом Аристотелем (384—322 гг. до н. э.), который в своих трактатах обстоятельно исследовал терминологию логики, подробно разобрал теорию умозаключений и доказательств, описал ряд логических операций, сформулировал основные законы мышления, в том числе законы противоречия и исключения третьего [1—5]. Вклад Аристотеля в логику весьма велик, недаром другое ее название — аристотелева логика.
    Еще сам Аристотель заметил, что между созданной им наукой и математикой (тогда она именовалась арифметикой) много общего. Он пытался соединить две эти науки, а именно свести размышление, или, вернее, умозаключение, к вычислению на основании исходных положений.

В одном из своих трактатов Аристотель вплотную приблизился к одному из разделов математической логики — теории доказательств.
    В дальнейшем многие философы и математики развивали отдельные положения логики и иногда даже намечали контуры современного исчисления высказываний, но ближе всех к созданию математической логики подошел уже во второй половине XVII века выдающийся немецкий ученый Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646— 1716), указавший пути для перевода логики “из словесного царства, полного неопределенностей, в царство математики, где отношения между объектами или высказываниями определяются совершенно точно” [6]. Лейбниц надеялся даже, что в будущем философы, вместо того чтобы бесплодно спорить, станут брать бумагу и вычислять, кто из них прав [1]. При этом в своих работах Лейбниц затрагивал и двоичную систему счисления.
    Следует отметить, что идея использования двух символов для кодирования информации очень стара. Австралийские аборигены считали двойками, некоторые племена охотников-сборщиков Новой Гвинеи и Южной Америки тоже пользовались двоичной системой счета. В некоторых африканских племенах передают сообщения с помощью барабанов в виде комбинаций звонких и глухих ударов. Знакомый всем пример двухсимвольного кодирования — азбука Морзе, где буквы алфавита представлены определенными сочетаниями точек и тире.
    После Лейбница исследования в этой области вели многие выдающиеся ученые, однако настоящий успех пришел здесь к английскому математику-самоучке Джорджу Булю (1815—1864), целеустремленность которого не знала границ.
    Материальное положение родителей Джорджа (отец которого был сапожным мастером) позволило ему окончить лишь начальную школу для бедняков. Спустя какое-то время Буль, сменив несколько профессий, открыл маленькую школу, где сам преподавал [2]. Он много времени уделял самообразованию и вскоре увлекся идеями символической логики. В 1847 году Буль опубликовал статью “Математический анализ логики, или Опыт исчисления дедуктивных умозаключений”, а в 1854 году появился главный его труд “Исследование законов мышления, на которых основаны математические теории логики и вероятностей”.
    Буль изобрел своеобразную алгебру — систему обозначений и правил, применимую ко всевозможным объектам, от чисел и букв до предложений. Пользуясь этой системой, он мог закодировать высказывания (утверждения, истинность или ложность которых требовалось доказать) с помощью символов своего языка, а затем манипулировать ими, подобно тому, как в математике манипулируют числами. Основными операциями булевой алгебры являются конъюнкция (И), дизъюнкция (ИЛИ) и отрицание (НЕ).
    Через некоторое время стало понятно, что система Буля хорошо подходит для описания электрических переключательных схем. Ток в цепи может либо протекать, либо отсутствовать, подобно тому, как утверждение может быть либо истинным, либо ложным. А еще несколько десятилетий спустя, уже в XX столетии, ученые объединили созданный Джорджем Булем математический аппарат с двоичной системой счисления, заложив тем самым основы для разработки цифрового электронного компьютера.
    Отдельные положения работ Буля в той или иной мере затрагивались и до, и после него другими математиками и логиками [1, 2]. Однако сегодня в данной области именно труды Джорджа Буля причисляются к математической классике, а сам он по праву считается основателем математической логики и тем более важнейших ее разделов — алгебры логики (булевой алгебры) и алгебры высказываний.

Литература
    1. Колмогоров А.Н., Драгалин А.Г. Введение в математическую логику. М.: Издательство Московского университета, 1982.
    2. Соколов Е.А. Интегральные схемы логических операций // Новое в жизни, науке, технике. Сер. “Вычислительная техника и ее применение”. Аппаратный состав ЭВМ, № 5/88.
    3. Дж. Кемени, Дж. Снелл, Дж. Томпсон. Введение в конечную математику: Пер. с англ. М.: Мир, 1963.
    4. 1 + 1 = ? // Информати- ка, № 3/2000.
    5. Создатель формальной логики // Информатика, № 41/2000.

    6. Знакомьтесь: компьютер: Пер. с англ. М.: Мир, 1989.

Логика Аристотеля – кратко — Русская историческая библиотека

если вам нужны ПОДРОБНЫЕ сведения по этой теме, обратитесь к материалу Логика Аристотеля. Читайте также статьи Учение Аристотеля о познании, Законы логики Аристотеля, Аристотель – биография и Аристотель – краткая биография

Аристотель был отцом логики – науки о формах нашего мышления как познавательной деятельности.

Общие элементы мышления суть понятие, суждение и умозаключение, которое в особенности привлекло к себе внимание Аристотеля: его теория силлогизмов является существенной частью формальной логики, как она преподается еще в наши дни. Нам нет времени подробно останавливаться на этой части аристотелевского учения, как это обыкновенно делается в специальном курсе по логике. Но если мы сравним, что было в этой науке сделано Аристотелем и что до него, то найдем громадный шаг вперед. Сократ открыл логические принципы знания, Платон установил деление (διαίρεσις) понятий, Аристотелю принадлежит учение о научном доказательстве.

 

Аристотель. Иллюстрированная биография

 

На умозаключении основывается научное доказательство вообще. Наука, как это указывает уже Платон, заключается в знании причин, из которых объясняется необходимая последовательность, связь явлений; зная причины явления, мы понимаем, почему то или другое событие логически необходимо, почему оно не может быть иным, чем оно есть – ὅτι οὐκ ἐνδέχεται ἄλλως ἔχειν. Поэтому-то все научные положения и должны выводиться из необходимых посылок, путем цепи посредствующих заключений, причем ни одно звено не должно быть пропущено. Это и есть ἀπόδειξις – доказательство. То, что известно нам из восприятий, должно быть понято из причин, и процесс научного познания должен логически воспроизвести отношение между причиной и ее следствием.

Но самое логическое доказательство предполагает некоторые высшие, общие посылки, которые не могут быть доказаны, – иначе доказательство, согласно Аристотелю, простиралось бы до бесконечности и не имело бы твердой точки опоры: это – высшие посылки или начала (ἀρχαὶ) каждой науки, которые лежат в ее основании и не могут быть доказаны. Такие начала познаются разумом непосредственно. К числу этих непосредственных начал (ἄμεσα) разумной логики относится закон противоречия, аксиомы (ἀξιώματα) математики. Затем другие, не подлежащие доказательству начала суть некоторые обобщенные данные опыта, служащие частным основанием отдельных наук (ἴδιαι ἀρχαὶ), например, сумма астрономических наблюдений (ἀστρολογικὶ ἐμπειρία), служащая основанием для наших астрономических знаний (ἀστρολογικὴ ἀπόδειξις, ἐπιστήμη). Таким образом, все посредствуемое знание предполагает знание непосредственное или такое, которое не может быть опосредствовано дедуктивным путем. Как общие начала, из которых исходит доказательство, так и те фактические данные, к которым они прилагаются, должны быть известны нам без доказательства. И как явления познаются нами путем восприятий, так и в нашем разуме Аристотель признает способность непосредственного усмотрения общих начал.

Наряду с доказательством выводным стоит индукция – ἡ ἀπὸ τῶν καθ’ ἔκαστον ἐπὶ τὰ καθ’ ἔφοδος. Посредством наведения могут быть добыты общие посылки, из которых может исходить научное, логическое доказательство. Но индукция приводит лишь к вероятности, а не к безусловной достоверности, ибо для безусловно-доказательной индукции требовалось бы знание всех единичных случаев. Так как подобное совершенно всеохватывающее наблюдение всех частных случаев невозможно, то Аристотель иногда, по примеру Сократа, упрощает индуктивный прием: он полагает в основание наведения некоторые предположения – ἔνδοξα, имеющие за себя авторитет знаменитых философов или большинства, и затем сравнивает, сопоставляет их между собою, разбирает, критикует эти мнения, чтобы таким путем добиться положительных результатов. Перед каждым исследованием Аристотель указывает все трудности вопроса, приводит все противоположные различные мнения; он с замечательным искусством владеет этим критическим приемом.

Но самое логическое «наведение» Аристотеля еще носит следы своего диалектического происхождения: это еще далеко не то систематическое обобщение опыта и наблюдения, которое мы находим в современной индуктивной науке. Техника индукции выработалась вместе с техникой эксперимента. Античная мысль не настолько освободилась от природы, не настолько приобрела независимости от внешних явлений, чтобы «вопрошать природу» путем систематического эксперимента. Она более наблюдала, чем испытывала ее. Аристотель – превосходный наблюдатель, но его наведение сводится в лучшем случае лишь к диалектической проверке наблюдений.

Таким образом, логика Аристотеля является орудием, которым он хотел пользоваться для философского познания. λόγιχὴ, логика, как учение о научном познании, есть собственно не часть философии, а ее «Органон», как впоследствии школа окрестила сочинения Аристотеля на тему логики. В основании этой чисто формальной логики лежит чисто философское представление Аристотеля о природе человеческого познания.

 

теория множеств — Основа формальной логики

Что касается проблемы с определением строк и тому подобного, наиболее формальные опубликованные дискуссии, о которых я знаю, — это те, которые я указал в своем ответе на книгу «Высоко строгая логика».

В общем, можно попробовать погуглить метаязык + логика.

Много лет назад я сам много боролся с проблемами металогии, и я до сих пор немного борюсь сейчас, когда читаю некоторые фундаментальные темы, в которых интенсивно используется математика в метаязыке (например, см. мой ответ на этот вопрос).

Вот дурацкая дискуссия, которая может помочь понять разницу между метаязыком и объектным языком:

Вы читаете книгу по формальной логике. Ближе к началу книги автор пишет следующее: « Вспомните пример, который мы приводили тремя предложениями ранее $\ldots$».

Поскольку это происходит задолго до построения или определения натуральных чисел, как бы вы предложили переписать предложение? ? Возможно, автор мог бы сказать: «Вспомните самый последний пример, который мы привели $\ldots$». Однако это предполагает определенные аспекты понятия порядка, такие как идея «до» и «после».

Или, предположим, далее в книге автор приводит некий результат, говоря, что его «можно найти на странице 235». Теперь автор также использует свойства десятичных чисел, такие как 235 = 200 + 30 + 5, это также задолго до того, как натуральные числа каким-то образом определены, например, $\;0 = \emptyset,$ $\;1 = \{\emptyset\},\;$ $\;2=\{\emptyset, \{\emptyset\}\},$ $\ldots,$, что, в свою очередь, задолго до определения десятичных числовых представлений натуральных чисел .

(ДОБАВЛЕНО ЧЕРЕЗ МЕСЯЦ) Недавно я наткнулся на имеющуюся у меня рецензию на книгу (фотокопированную около 12 лет назад из тома библиотечного журнала)

Введение в математическую логику Алонзо Черча, в которой дается полезное обсуждение этих вопросов логики и металогии. Обзор подготовлен Мартином Дэвидом Дэвисом и обзор опубликован на стр. 84-86 из Scripta Mathematica 24 (1959). Далее следует примерно первые 2/3 рецензии, на стр. 84-85.

Хотя на самом деле здесь нет ответа на вопрос Alex123, он дает больше контекста для вопроса. Я подозреваю, что этот вопрос более правильно относится к философии, чем к математике, и я подозреваю, что он обсуждается где-то в одной или нескольких статьях по философии, но у меня нет конкретных ссылок, чтобы предложить в настоящее время.

Эта книга представляет собой всеобъемлющее введение в современную логику. Хотя не предполагается никаких предварительных знаний в области математической логики, предполагается, что читатель обладает значительной математической зрелостью. (Грубо говоря, текст подходит для аспирантов первого курса.)

В отличие от многих работ в этой области, эта книга не ограничивается развитием одной определенной системы логики. Скорее, изучается ряд таких систем. В качестве основного метода используется то, что Черч называет «логистическим методом».

Математическая логика в основном связана с формальными рассуждениями. Однако любая попытка развить этот предмет как дедуктивную систему — в смысле, скажем, евклидовой геометрии — наталкивается на кажущееся непреодолимым препятствие. А именно, обычная техника, когда начинают с подходящих аксиом, а затем применяют логику для вывода теорем, т. е. логических следствий аксиом, явно неуместна, когда предметом исследования является логика. Иными словами, любая попытка развивать логику как изучение логических следствий определенных аксиом носит замкнутый характер, поскольку законы логики используются для получения законов логики. Логистический метод дает средства для преодоления этой трудности. Начинают со строгого указания, какие именно символы будут использоваться при разработке. Эта спецификация должна быть полной и однозначной. Например, знаки препинания, такие как запятые и круглые скобки, должны быть включены, если они будут использоваться; можно использовать только те буквы алфавита, которые перечислены.

Среди различных конечных последовательностей, которые могут быть образованы из этих символов, выделяются такие, как корректные формулы . Именно правильно построенные формулы следует считать «осмысленными». Критерий того, что конечная последовательность символов является правильно построенной формулой, должен быть эффективным в том смысле, что должна существовать чисто механическая процедура для определения того, является ли данная конечная последовательность символов правильно построенной формулой. Затем некоторые правильно построенные формулы откладываются в сторону как аксиом . Опять же, требуется наличие эффективного критерия для определения того, является ли правильно построенная формула аксиомой. (Последнее требование автоматически выполняется в случае конечного числа аксиом; часто бывает удобно или даже необходимо работать с бесконечным числом аксиом.) Наконец, правила вывода указаны. Именно эти правила вывода позволяют выводить теоремы из данных аксиом. Цикличность, о которой говорилось выше, избегается, потому что правила вывода относятся только к символам, из которых построены правильно построенные формулы, а вовсе не к какому-либо «значению», которое можно было бы приписать правильно построенным формулам. Таким образом, система логики (или логистическая система ), примитивные символы которой включают (среди прочего) $[\;\;] \;\; \supset$ вполне может иметь следующее правило вывода:

Если A и B -хорошо сформированные формулы, затем можно сделать B из A и [ A A и [ A A и .

Здесь подразумевается, что [ A $\supset$ B ] является правильной формулой, которая начинается с [ за которым следуют символы, составляющие A , за которыми следует $\supset,$, за которым следует символы, которые составляют B , а затем ]. Правила вывода логистической системы также должны быть эффективными . То есть должна быть доступна механическая процедура для определения того, может ли данная правильно построенная формула быть выведена из других данных правильно построенных формул с помощью правил вывода.

Логистическая система, однажды созданная, сама по себе является математическим объектом, относительно которого можно задать много вопросов. Ответы на такие вопросы ищутся методами обычной математики. Циркулярность отсутствует, поскольку эти математические методы используются не для разработки логистической системы, а для получения информации о ней извне.

Изучение логистической системы таким образом, как вовлечение конечных последовательностей символов без привязки к смыслу, называется синтаксисом логистической системы, в отличие от изучения возможных интерпретаций системы, которая называется семантика системы.

Какова точная роль логики в основах математики?

Многие студенты, в том числе и я несколько лет назад, часто не понимают цели логики. Конечно, целью логики не является каким-то образом обеспечить строгую основу для выполнения всей математики каким-то чистым образом, без привлечения какой-либо формы интуиции или аксиоматизации. В частности, целью логики не является определение значения таких фраз, как для всех или существует на любом уровне, кроме интуитивно-очевидного. Это просто неинтересно (на самом деле это большая жирная ложь, так как существуют различные разновидности логики, в которых значение, например, существует , определяется иначе, чем классическое, и некоторые математики возражают против этого). классическое определение, по многим правдоподобным причинам — такие вопросы, очевидно, подпадают под сферу основ, поскольку это изучение различных вариантов на очень низком уровне, самых основных строительных блоков всех аргументов).

Так при чем тут логика? Итак, логика состоит из нескольких областей, так что давайте рассмотрим только одну: теорию моделей. Теорию моделей можно в некоторой степени описать как изучение выразительной силы формальных языков. Долгое время математики субъективно спорили о правильности некоторых объектов. Аксиомы рассматривались как очевидные истины, указывая на то, что они бесспорно истинны. Известно, что пятый постулат Евклида в геометрии обсуждался, и многие утверждали, что он является очевидной аксиомой геометрии, в то время как он буквально шел по контрпримеру. Развитие анализа и других областей диктовало гораздо более сложное понимание роли аксиом, определений и структуры доказательства. Старый аксиоматический, платонический подход был заменен подходом формализма: аксиомы — это всего лишь предложения, выбранные для выполнения, а не как-то внешне очевидные, а практика математики — это изучение того, что вытекает из аксиом. Конечно, когда Гильберт сказал, что математика — это всего лишь формальная игра, он (я полагаю) не имел в виду, что когда мы действительно занимаемся математикой, мы просто случайным образом выбираем некоторые аксиомы и смотрим, что происходит. Это было бы бесполезно. Вместо этого существует формальность, неофициально практикуемая людьми. Однако нельзя оспаривать, что это формальная игра, и этот формальный аспект можно изучать. Итак, появляется теория моделей: формальное определение языка, предикатов, утверждений и т. д. вместе с его семантикой. Это закладывает основу для изучения отношений между языком, который мы используем для изучения чего-либо, и фактическими свойствами этого чего-либо. Мало что является более фундаментальным, чем понимание сильных и слабых сторон языка, который мы используем в нашем стремлении понять математические объекты.

Теоремы Геделя о полноте и неполноте являются замечательными примерами удивительных ответов на такие основополагающие вопросы, как следующие. Если я нашел доказательство свойства из некоторых аксиом, значит ли это, что это свойство имеет место в любой модели аксиом? (Ответ: да, простым доказательством по индукции, следуя определениям семантики). Если свойство истинно (семантика!) в каждой модели некоторых аксиом, следует ли из этого, что существует доказательство (синтаксическое!) свойства из аксиом? (Ответ: Да, это теорема о полноте).