Площадь фигуры 3 класс это: Площадь фигур. Площадь прямоугольника — урок. Математика, 3 класс.

Периметр и площадь. Почему дети в начальной школе путаются в том, что кажется взрослым очень простым

Нам, взрослым, некоторые вещи кажутся очевидными. Всем мы знаем, как вычислить периметр и площадь у фигуры, например. А вот для детей в началке это сложно. Как им помочь, рассказывает наш блогер, учитель начальных классов Ольга Катаева.

Родители по-разному относятся к вопросу выполнения домашнего задания. Некоторые помогают, корректируют, контролируют. Некоторые делают задания за ребёнка. А кто-то считает, что выполнение домашнего задания — ответственность ребёнка, и не вмешиваются.

Есть родители, которые предпочитают с детьми не заниматься совсем (это касается не только домашних заданий). Восхищают родители, которые занимаются со своими детьми, помогают им понять то, что решали в классе, разбирают ошибки в контрольных. А есть такие, которые не разбирают материал вместе с ребёнком, а требуют полного заучивания программы, не интересуясь, понял он что-то или нет.

Много раз объясняла родителям, что у детей начальных классов другое мышление

Они не могут думать абстрактными понятиями. Они не могут понять материал, заучив правило или формулу. Чтобы научиться говорить определениями и формулами, младшие школьники должны усвоить понятие на практике.

В начальной школе есть совсем простые темы, а есть темы потруднее. Есть очень трудные. Одна из них — «Площадь и периметр». Взрослым, у которых логическое мышление уже сформировано, эта тема не кажется трудной, поэтому они с лёгкостью объясняют её дома детям, не придерживаясь рекомендаций и объяснений учителя. Родители помнят, как учили эту тему в школе. Правда, не в начальных классах, а в среднем звене и старшем — то есть тогда, когда начинает формироваться логическое и абстрактное мышление. Поэтому подросткам дают формулы.

Дети начальной школы часто путают понятия «площадь» и «периметр»

Объяснению и повторению этой темы уделяется не так уж много времени. Родители, видя двойки за контрольные с такими заданиями, пытаются по своему объяснить, как решать. Дают формулу на периметр: P=2а+2b, но не объясняют, что она обозначает.

Вспомним формулу площади S=ab. И в той, и в другой формулах присутствует умножение — это первая причина, почему дети путаются (другие причины надо выяснять, это могут быть пространственно-конструктивные нарушения и др.).

Как можно объяснить эту тему, чтобы ребёнок ее понял? Обратимся к определению периметра: «Пери́метр — общая длина границы фигуры», или «Периметр — длина контура замкнутой плоской фигуры», или так: «Периметр — сумма длины всех сторон плоской геометрической фигуры». В начальной школе даётся такое определение: «Периметр — это сумма длин всех сторон фигуры». Важно понять, что периметр — это весь контур фигуры, то есть мы складываем вместе длины всех сторон.

Когда мы говорим о площади, мы говорим о «части плоскости, заключённой внутри замкнутой геометрической фигуры», о том, сколько места занимает фигура на плоскости. Площадь находят мерками, квадратиками (поэтому и единицы площади квадратные — так детям понятнее). Если фигура — прямоугольник, её делят на равные квадратики и считают их. Так можно делать с небольшими фигурами, которые помещаются в тетрадках.

Находить площадь «Красной площади», которая в Москве, так нельзя

Есть формула. Для нахождения площади больших фигур, прямоугольной формы, достаточно знать длину и ширину и перемножить их (можно ввести ассоциацию с таблицей Пифагора, которая тоже поделена на квадратики и значение произведения находят путём умножения чисел).

Вот оно — существенное отличие: периметр — сложение, площадь — умножение. Поэтому в период, когда идёт отработка этих понятий, не следует вводить формулу периметра прямоугольника с умножением. Если ученик поймёт суть понятия «периметр», он сможет найти периметр любого многоугольника. Если зациклить его на формуле для нахождения периметра прямоугольника, школьник не сможет перенести знание для нахождения периметра другой фигуры.

Не надо заучивать с детьми формулы и определения. Надо понимать возрастные особенности младших школьников и объяснять на понятном для них «языке» — через образы, ассоциации, через практику, через действование.

Удачи родителям, которые понимают своих детей и помогают им в нелёгкой учебной жизни.

Вы находитесь в разделе «Блоги». Мнение автора может не совпадать с позицией редакции.

Фото: Shutterstock / pupunkkop

Формула площади прямоугольника (Слупко М.В.) | Математика | 5 класс

Введение

Представьте ситуацию. Мама хочет испечь торт. Но у неё осталось мало глазури, которой она его покроет сверху. На какой из этих трёх тортов уйдёт меньше всего глазури (Рис. 1)?

Рис. 1. Торты разной формы

Казалось бы, все просто: какая фигура меньше, на ту меньше глазури и понадобится. Но что такое «меньше»? Для отрезков было понятно: сравнивали длины. А что можно сравнивать у фигур? Для этого используют другую характеристику – площадь. Чем меньше будет площадь торта, тем меньше глазури понадобится маме.

А как определить площадь фигуры? Как сравнивать площади разных фигур? На этом уроке мы поговорим о том, как посчитать площадь прямоугольника.

Почему мы начинаем именно с него? Во-первых, прямоугольники в нашей жизни встречаются часто, поэтому возникает много практических задач, связанных с вычислением площади прямоугольника: сколько стекла надо, чтобы застеклить оконный проём, сколько лака надо, чтобы покрыть дверь, сколько бумаги надо, чтобы обернуть подарок и т.д. (Рис. 2).

Рис. 2. Примеры практических задач на вычисление площади прямоугольника

Во-вторых, прямоугольники легко укладывать плотно друг к другу (сравните: чем проще заполнить коробку – прямоугольными плитками или, например, круглыми, при условии, что пустого места должно оставаться как можно меньше) (Рис. 3).

Рис. 3. Заполненные прямоугольные коробки

Поэтому площадь любой фигуры можно посчитать достаточно точно, «разрезав» эту фигуру на прямоугольники (Рис. 4).

Рис. 4. Фигура разбита на прямоугольники

То есть если уметь находить площадь прямоугольников, то можно приближенно посчитать площади других фигур.

---

 

Аксиомы площади

На самом деле площадь прямоугольника важна не только для того, чтобы научиться считать площади других фигур. Она нужна, чтобы вообще дать определение: а что же такое площадь.

Интуитивно каждый из нас понимает, что такое площадь. Но сформулировать определение не так просто. Обычно говорят, что площадь – это место, которое фигура занимает на плоскости (чем больше площадь, тем больше места она занимает и наоборот).

Давайте попробуем строго определить, что же такое площадь фигуры, каким требованиям она должна удовлетворять, чтобы результат согласовывался с нашим жизненным опытом и здравым смыслом.

Итак, пусть у нас есть фигура (Рис. 1).

Рис. 1. Произвольная фигура

Чтобы найти её площадь, надо задать какой-то стандарт, то есть определить площадь известной фигуры. В математике такой фигурой считается единичный квадрат (квадрат со стороной ). Его площадь считается равной  (Рис. 2).

Рис. 2. Единичный квадрат

Теперь, если фигура состоит из двух квадратов, логично считать, что она занимает в  раза больше места, то есть её площадь равна сумме площадей двух квадратов, или равна  (Рис. 3).

Рис. 3. Фигура площадью 

Это свойство площади можно обобщить: если фигура состоит из двух фигур, то её площадь равна сумме площадей этих фигур (Рис. 4). Действительно, эта фигура занимает столько же места, сколько те две фигуры вместе взятые.

Рис. 4. Фигура состоит из двух фигур

Наконец, совсем очевидно, что у одинаковых фигур (под одинаковыми мы имеем в виду те, которые можно совместить при наложении) площади должны быть равны, так как они занимают одинаковое место (Рис. 5).

Рис. 5. Одинаковые фигуры совместились при наложении

---

 

Этих свойств достаточно, чтобы научиться считать площадь любой известной нам фигуры.

Площадь прямоугольника

Площадь фигуры равна количеству единичных квадратов, которые укладываются внутрь фигуры.

Возьмем прямоугольник: высота  см, а длина  см. Заполним его квадратами со стороной  см. Площадь каждого такого квадрата . Всего поместилось  квадратов (Рис. 5).

Рис. 5. Площадь данного прямоугольника

Значит, по определению площади фигуры, площадь нашего прямоугольника равна .

Обязательно ли нужно выкладывать все единичные квадраты внутри прямоугольника, чтобы понять, сколько их поместится? Давайте посмотрим еще раз. Выложим внизу прямоугольника один ряд единичных квадратов. Длина прямоугольника  см, а длина стороны квадрата  см. Их поместится  штук (Рис. 6).

Рис. 6. Первый ряд

Выложим второй ряд. Он будет содержать тоже  квадратов (Рис. 7).

Рис. 7. Второй ряд

Сколько всего таких рядов? Так как высота прямоугольника  см, то поместится  ряда (Рис. 8).

Рис. 8.  ряда

Итак,  ряда по  штук в каждом. Всего  квадратов. То есть, чтобы понять, сколько квадратов поместится, не обязательно их рисовать.

А если бы мы считали ряды по-другому? Каждый вертикальный ряд содержит  квадрата, и всего помещается  таких рядов (Рис. 9): .

Рис. 9.  рядов

Рассмотрим прямоугольник побольше. Если бы мы стали рисовать единичные квадраты, то получилось бы  рядов по  штук в каждом (Рис. 10), или, наоборот,  столбиков по  в каждом.

Рис. 10.  рядов

Рис. 11.  рядов

Но этого делать необязательно. Достаточно умножить длину одной стороны на длину другой, причем в любом порядке: .

Итак, мы получили основной вывод: площадь прямоугольника равна произведению длин двух соседних сторон:  (Рис. 12).

Рис. 12. Прямоугольник

Если длины сторон измерены в сантиметрах, то площадь по этой формуле получится в: . Если длины в метрах, то значение площади получатся в: .

Примеры

Пример 1. Найти площадь прямоугольника со сторонами  м и  м (Рис. 13).

Рис. 13. Иллюстрация к примеру 

Решение

Ответ: .

Пример 2. Найти площадь прямоугольника со сторонами  мм и  мм.

Решение

Чтобы найти площадь, нам необязательно рисовать прямоугольник. Все нужные данные у нас есть: .

Ответ: .

Может оказаться, что стороны будут измерены в разных единицах.

Пример 3. Найти площадь прямоугольника со сторонами  м и  см (Рис. 14).

Рис. 14. Иллюстрация к примеру 3

В такой ситуации нужно выразить длины сторон в одних и тех же единицах измерения.

Переведем  м в сантиметры: . Так как теперь длины у нас в см, то площадь мы получим в : .

Ответ: .

Площадь квадрата

Прямоугольник, у которого все стороны равны, называется квадратом (Рис. 15).

Рис. 15. Квадрат

К нему тоже применима формула площади прямоугольника. Но так как стороны равны, то формулу можно записать короче: .

Пример: найти площадь квадрата со стороной  м  см.

Решение

Запишем длину стороны в одних единицах, в сантиметрах: .

Найдем площадь квадрата: .

Ответ: .

Другой тип задач

Встречаются задачи, где уже известна площадь прямоугольника и длина одной стороны. Требуется найти другую сторону. Разберем этот случай на конкретном примере.

Пример: поле имеет ширину  метров. Какова должна быть длина поля, что площадь поля получилась  га (Рис. 16)?

Рис. 16. Иллюстрация к примеру

Решение

Начнем с единиц, в которых нам дана площадь. Вспомним, что такое  га. Гектар – мера площади, используемая в сельском хозяйстве. Она равна площади квадратного участка земли со стороной  м. Вычислим эту площадь в : . То есть площадь в  и называют  га.

Теперь вернемся к условию задачи. Требуемая площадь поля  га. Переведем ее в : . Итак, нам известны ширина поля и его площадь. Не известна длина поля. Обозначим ее  (Рис. 17).

Рис. 17. Характеристики поля в 

Воспользуемся формулой площади прямоугольника. Площадь прямоугольника равна произведению длин его сторон: . Площадь и одну длину мы знаем. Подставим в формулу: .

Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на известный множитель: .

Ответ:  м.

Заключение

Итак, подведем итоги.

• Если нам известны две стороны прямоугольника (длина и ширина), то площадь прямоугольника находится по формуле  (Рис. 18).

Рис. 18. Произвольный прямоугольник

• Если длины сторон даны в м, то площадь получится в , если в мм, то площадь в , если длины в км, то площадь в .
• Если длины сторон указаны в разных единицах измерения (например, в метрах и километрах), то, прежде чем применять формулу, нужно выразить длины в одних и тех же единицах измерения (например, только в метрах).
• Формулу площади квадрата можно записать короче: .
• Если известна площадь и одна сторона прямоугольника, то мы можем найти другую сторону. Для этого площадь нужно разделить на длину известной стороны: .

Нахождение площади прямоугольника – простая, но очень важная задача. В дальнейшем мы будем ее использовать, чтобы получить формулы площадей других фигур.

 

Список рекомендованной литературы

1. Виленкин Н. Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика 5 класс. М.: Мнемозина, 2013.
2. Ерина Т.М. Математика 5 класс. Рабочая тетрадь к учебнику Виленкина Н.Я. М.: Экзамен, 2013.
3. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Математика 5 класс. М.: Вентана-Граф, 2013.

 

Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет портал «school-assistant.ru» (Источник)
2. Интернет портал «school-assistant.ru» (Источник)
3. Интернет портал «edufuture.biz» (Источник)

 

Домашнее задание

1. Стороны прямоугольника равны  см и  см. Чему равна его площадь?
2. Сторона квадрата равна  метров. Чему равна его площадь?
3. Площадь прямоугольника равна . Чему равна ширина, если его длина равна  см?

Исчисление III — Площадь поверхности

Онлайн-заметки Пола
Главная / Исчисление III / Несколько интегралов / Площадь поверхности

Показать мобильное уведомление Показать все примечания Скрыть все примечания

Мобильное уведомление

Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана ( т. е. вы, вероятно, используете мобильный телефон). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в ландшафтном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку вашего устройства (должна быть возможность прокрутки, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 15.9: Площадь поверхности

В этом разделе мы рассмотрим единственное применение (помимо интерпретаций площади и объема) множественных интегралов в этом материале. Это не первый раз, когда мы смотрим на площадь поверхности. Впервые мы увидели площадь поверхности в Calculus II, однако в той обстановке мы смотрели на площадь поверхности тела вращения. Другими словами, мы смотрели на площадь поверхности твердого тела, полученную вращением функции вокруг оси \(x\) или \(y\). В этом разделе мы хотим рассмотреть гораздо более общую ситуацию, хотя вы заметите, что приведенная здесь формула очень похожа на формулу, которую мы видели в «Исчислении II». 92} + 1} \,dA}}\]

Давайте рассмотрим пару примеров.

Пример 1. Найдите площадь поверхности части плоскости \(3x + 2y + z = 6\), лежащей в первом октанте.

Показать решение

Помните, что первый октант — это часть системы осей xyz , в которой все три переменные положительны. Сначала сделаем набросок интересующей нас части плоскости.

Нам также понадобится набросок области \(D\).

Помните, что для получения области \(D\) мы можем представить, что стоим прямо над плоскостью и видим область \(D\). Мы можем получить уравнение для гипотенузы треугольника, поняв, что это не что иное, как линия, по которой плоскость пересекает плоскость \(xy\), и мы также знаем, что \(z = 0\) на \(xy \)-самолет. Подстановка \(z = 0\) в уравнение плоскости даст нам уравнение для гипотенузы.

Обратите внимание, что для того, чтобы использовать формулу площади поверхности, нам нужно иметь функцию в виде \(z = f\left( {x,y} \right)\) и, таким образом, найти \(z\) и взять частные производные дают,

\[z = 6 — 3x — 2y\hspace{0,5 дюйма} {f_x} = — 3\hspace{0,25 дюйма} {f_y} = — 2\]

Пределы, определяющие \(D\),

\[0 \le x \le 2\hspace{0. 2\\ & = 3\sqrt {14} \end{align*}\] 92} = 1\).

Показать решение

В этом случае мы ищем площадь поверхности части \(z = xy\), где \(\left( {x,y} \right)\) выходит из круга радиуса 1 с центром в начале координат так как это область, которая будет лежать внутри данного цилиндра.

Вот частные производные,

\[{f_x} = y\hspace{0,5 дюйма} {f_y} = x\]

Интеграл площади поверхности, 9{\frac{3}{2}}} — 1} \right)\end{align*}\]

Калькулятор площади трапеции

Создано Bogna Szyk

Отзыв Стивена Вудинга

Последнее обновление: 18 декабря 2022 г.

Содержание:

• Что такое трапеция?
• Как найти площадь трапеции?
• Как найти периметр трапеции?
• Использование калькулятора площади трапеции: пример
• Часто задаваемые вопросы

Если у вас когда-либо возникали проблемы с запоминанием формул на уроках геометрии, этот калькулятор площади трапеции обязательно вам поможет. Всего за несколько простых шагов вы сможете найдите площадь трапеции и определите все остальные ее свойства, например длины сторон внутренних углов. Итак, если вас беспокоят такие вопросы, как «как найти периметр трапеции», не смотрите дальше — просто продолжайте читать, чтобы узнать!

Вы также можете воспользоваться нашим калькулятором длины окружности, чтобы более подробно проанализировать геометрию круга, или нашим калькулятором формулы окружности, чтобы узнать больше об уравнениях, лежащих в основе этой геометрии.

Что такое трапеция?

Трапеция – это четырехсторонняя геометрическая фигура, две стороны которой параллельны друг другу. Эти две стороны ( a и b на схеме) называются основаниями трапеции. Две другие стороны ( c и d ) называются ножками. h высота трапеции.

Сумма всех внутренних углов трапеции дает 360°. Кроме того, углы на одной стороне катета называются смежными и всегда дают в сумме 180°:

α + β = 180°

γ + δ = 180°

Как найти площадь трапеции?

Чтобы найти площадь трапеции ( A ), выполните следующие действия:

1. Найдите длину каждого основания ( a и b ).
2. Найдите высоту трапеции ( h ).
3. Подставьте эти значения в формулу площади трапеции: A = (a + b) × h / 2 .

Вы можете заметить, что для трапеции с a = b (и, следовательно, c = d = h) формула упрощается до A = a × h , что в точности соответствует формуле площади прямоугольника.

Как найти периметр трапеции?

Чтобы быстро найти периметр трапеции, выполните следующие действия:

1. Найдите длину всех сторон трапеции ( a , b , c и 0 9d).
2. Сложите их вместе , чтобы получить периметр трапеции: P = a + b + c + d .
3. Вот оно! Это так просто.

В качестве альтернативы вы можете использовать калькулятор площади трапеции, который автоматически найдет для вас площадь и периметр трапеции.

Использование калькулятора площади трапеции: пример

Предположим, вы хотите вычислить площадь некоторой трапеции.

Все данные приведены:

• α = 30°

• γ = 125°

• В = 6 см

• а = 4 см

• Р = 25 см

1. Вычислите оставшиеся внутренние углы. Как α + β = 180° , β = 180° - 30° = 150° .

2. Аналогично, как γ + δ = 180° , δ = 180° - 125° = 55° .

3. Найдите длины катетов трапеции, используя формулу синуса угла:

   sin 30° = c / h

   sin 55° = д / ч

   c = sin 30° × 6 = 12 см

   d = sin 55° × 6 = 7,325 см

4. Вычтите значения a, c и d из периметра трапеции, чтобы найти длину второго основания:

   b = P - a - c - d = 25 - 4 - 12 - 7,325 = 1,675 см

5. Наконец, применим формулу площади трапеции:

   A = (a + b) × h / 2 = (4 + 1,675) × 6 / 2 = 17,026 см²

Не забудьте также взглянуть на шестигранный калькулятор!

Часто задаваемые вопросы

Чем трапеция отличается от других четырехугольников?

Трапеции отличаются от других четырехугольников тем, что имеют ровно одну пару параллельных сторон .