Иррациональный это википедия: Недопустимое название | Викии Вики

Квадратичный иррациональный — frwiki.wiki

Квадратичным иррациональным является иррациональным числом раствор квадратного уравнения с рациональными коэффициентами, другими словами, алгебраическое действительное число степени 2 . Таким образом, он генерирует вещественное квадратичное поле ℚ ( √ d ), где d — положительное целое число без квадратного множителя .

Квадратичные иррациональные числа характеризуются периодичностью, начиная с определенного ранга их развития в непрерывную дробь ( теорема Лагранжа ).

Квадратный корень из неквадратного целого числа

Простейшие примеры квадратичных иррациональностей являются квадратными корнями из не- квадратных натуральных чисел (наиболее известных из которых √ 2 ). Фактически, мы доказываем, что если целое число не является квадратом целого числа, тогда оно даже не является квадратом рационального числа или даже — по контрасту — что если целое число d является квадратом рационального числа, то √ d является целым числом.

Это может быть выведено из предложения 8 из книги VIII из элементов из Евклида . Обычные доказательства апеллируют к лемме Гаусса или даже к фундаментальной теореме арифметики, но другие более проницательны, как доказательство Ричарда Дедекинда или следующие, в основном принадлежащие Теодору Эстерману  :

Пусть d — натуральное целое число, квадратный корень которого является рациональным, которое мы запишем в форме p / q с q как можно меньшим (т. Е. Q — наименьшее целое число> 0, произведение которого на √ d является целым), и пусть n будет целая часть из √ д . Тогда целое число r  : = p — nq удовлетворяет: 0 ≤ r < q и r √ d целое. Ввиду минимальности q, r = 0, поэтому √ d = n .

В более общем смысле любое нецелое алгебраическое целое число иррационально.

Примечания и ссылки

1. ↑ (in) Элементы Евклида, книга VIII, предложение 8, Дэвид Э. Джойс.
2. ↑ (in) «  Квадратный корень из 2 иррационален  », о разрубании узла .
3. ↑ (in) Аттила Мате, «  Иррациональность квадратных корней  », о Бруклинском колледже .
4. ↑ (в) Харли Фландерс, «  Математический член: иррациональность √ m  », Math. Mag. , т.  72,1999 г., стр.  235 ( читать онлайн ).

Статьи по Теме

• Проблема Эрмита  (ru)
• Функция вопросительного знака
• Феодор из Кирены
• Теорема Хассе-Минковского

<img src=»//fr. wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1×1″ alt=»» title=»»>

Иррациональные числа | это… Что такое Иррациональные числа?

ТолкованиеПеревод

Иррациональные числа

Иррациона́льное число́ — это вещественное число, которое не является рациональным, то есть которое не может быть представленным в виде дроби , где

m — целое число, n — натуральное число. О существовании иррациональных чисел, точнее отрезков, несоизмеримых с отрезком единичной длины, знали уже древние математики: им была известна, например, несоизмеримость диагонали и стороны квадрата, что равносильно иррациональности числа .

Множество иррациональных чисел обычно обозначается . Таким образом

— множество иррациональных чисел есть разность множеств вещественных и рациональных чисел.

Содержание 1 Свойства 2 Теоремы 2. 1 — иррациональное число 2.2 log23 — иррациональное число 2.3 e — иррациональное число 3 Другие иррациональные числа

Свойства

• Всякое вещественное число может быть записано бесконечной десятичной дробью, при этом иррациональные числа и только они записываются непериодическими бесконечными десятичными дробями.
• Иррациональные числа определяют Дедекиндовы сечения в множестве рациональных чисел, у которых в нижнем классе нет наибольшего, а в верхнем нет наименьшего числа.
• Каждое трансцендентное число является иррациональным.
• Каждое иррациональное число является либо алгебраическим, либо трансцендентным.
• Множество иррациональных чисел всюду плотно на числовой прямой: между любыми двумя числами имеется иррациональное число.
• Множество иррациональных чисел несчётно, является множеством второй категории.

Теоремы

— иррациональное число

Допустим противное: рационален, то есть представляется в виде несократимой дроби , где m и n — целые числа. Возведём предполагаемое равенство в квадрат:

.

Отсюда следует, что m² чётно, значит, чётно и m. Пускай m = 2r, где r целое. Тогда

Следовательно, n² чётно, значит, чётно и n. Мы получили, что m и n чётны, что противоречит несократимости дроби . Значит, исходное предположение было неверным, и — иррациональное число.

log

₂3 — иррациональное число

Допустим противное: log₂3 рационален, то есть представляется в виде дроби , где m и n — целые числа. Поскольку log₂3 > 0, m и n могут быть выбраны положительными. Тогда

Но 2^m чётно, а 3ⁿ нечётно. Получаем противоречие.

e — иррациональное число

См. раздел «Доказательство иррациональности» в статье «e».

Другие иррациональные числа

Иррациональными являются:

• для любого натурального n, не являющегося точным квадратом
• e^x для любого рационального
• lnx для любого положительного рационального
• π, а также πⁿ для любого натурального n

Числа

натуральные | целые | рациональные | вещественные | p-адические
иррациональные | алгебраические | трансцендентные
комплексные | дуальные | двойные
кватернионы | числа Кэли (октавы) | седенионы | гиперкомплексные

 

Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Нужен реферат?

• Иррациональность
• Иррегулярная галактика

Полезное

Irrational – Википедия

из Википедии, der freien Enzyklopädie

Zur Navigation springenZursuche springen

Der Titel dieses Artikels ist mehrdeutig. Weitere Bedeutungen Sind Unter Irration (Begriffsklärung) Aufgeführt

ALS Irrative (von lateinisch urratieis, unvernüntrichen ‘) Bezeichnet Man Sachverhalte Oder Ideen, De der Menschlichen‘). Дер Бегрифф Irrationalität wird hierzu teils synonym als substantiviertes Adjektiv für das Irrationale verwendet, teils bezeichnet er die menschliche Charaktereigenschaft der Unvernunft .

Inhaltsverzeichnis

• 1 Mathematik
• 2 Begriffsbestimmung
• 3 Begriffsgeschichte
• 4 Сегмент или
• 5 Литература
• 6 Айнцельнахвайзе

→ Hauptartikel: Иррациональный Zahl

In der Mathematik ist eine Zahl «иррациональный», падает с nicht als endliche oder Periodische Dezimalzahl darstellbar ist (rationale Zahl), sie kann also als Dezimalzahl niemals (vollständig) berechnet sowie angegeben werden.

Dies sind diejenigen reellen Zahlen, die nicht durch einen Bruch zweier ganzer Zahlen ausgedrückt werden können, wie zum Beispiel 2{\displaystyle {\sqrt {2}}} oder die Kreiszahl π.

Im alltäglichen Sprachgebrauch wird der Begriff in verschiedenen Bedeutungen gebraucht. Einen Sachverhalt als «иррациональный» zu bezeichnen kann heißen, dass er möglicherweise besteht, dem Verstand aber nicht zugänglich ist, d. час рациональный nicht erklärbar ist. Er kann aber auch bedeuten, dass er, weil er rationalen Kriterien widespricht (etwa dem Gebot der Widerspruchsfreiheit), per se nicht bestehen kann . Der Begriff des «Ir-rationalen» ist zudem abzugrenzen vom Psychologischen Begriff des Unbewussten, также Inhalten, welche entweder nur zu einer gewissen Zeit nicht bewusst sind, oder die, wie einige Gehirnvorgänge, zwar grundsätzlich nie bewusst prechtrecht ablaufen, deroch Vernun .

Des Weiteren ist anzumerken, dass jede Überlegung, jeder Glaube an, jedes Denken über das Irrationale nur innerhalb eines bestimmten begrifflichen Diskurses vor sich gehen kann und dabei grundsätzlich den logischen Regeln der Sprache und Vernunft ist unterworforf.

So setzt der Gebrauch des Begriffs «иррациональный» selbst immer schon das Rationale voraus, zu welchem ​​das Ir-rationale negativ ins Verhältnis gesetzt wird. ^[1]

Der Begriff der Irrationalität entstammt der Mathematik und wurde vom jüdischen Philosophen Salomon Maimon erstmals in dessen Werk Versuch über die Transzendentalphilosphie (1790) philosophisch verwendet. ^[2] Offensichtlich war diese Schrift eine Reaktion auf die zuvor erschienene Kritik der reinen Vernunft (1781) Иммануила Канта. Im Anschluss hält der Irrationalitätsbegriff Einzug in die Philosophie des Deutschen Idealismus: In einem Brief von Johann Gottlieb Fichte and Friedrich Wilhelm Joseph Schelling von 1801, in einem Brief an Friedrich Heinrich Jacobi von 1804

[3] sowie in der Wissenschaftslehre von 1804 spricht Fichte von der «proiectio per hiatum irrationalem». ^[4] Schelling verwendet in seinen Vorlesungen zur Philosophie der Kunst 1802/1803 den Begriff иррациональный , indemer die Kunst als eine höhere Form der Vernunft irration darstellt, welchely analyfür den. ^[5] Schon bald findet sich der Begriff des Irrationalen auch in der Ästhetik von Friedrich Schleiermacher und bei Georg Wilhelm Friedrich Hegel in seiner Wissenschaft der Logik . CG Jung unterscheidet in seiner Lehre der analytischen Psychologie zwischen Rationalen (Denken und Empfinden) und irrationalen psychischen Funktionen (Intuieren und Fühlen), vgl. → Позитивная философия. ^[6]

Um eine Rehabilitierung des Irrationalen, die wenige Jahrzehnte später in die Begründung der Psychoanalyse mündete, hat sich im 19. Jahrhundert Fjodor Dostojewski verdient gemacht. ^[7]

• Иррационализм
• Rationalismus

• Кристоф Асмут, Саймон Габриэль Нойффер (Hrsg.): Irrationalität. Königshausen & Neumann, Вюрцбург, 2015 г., ISBN 978-3-8260-5783-0.
• Ульрих Арнсвальд, Ханс-Петер Шютт (Hrsg.): Rationalität und Irrationalität in den Wissenschaften. VS Верл. für Sozialwiss., Висбаден, 2011 г. , ISBN 978-3-531-18269-8.
• Стюарт Сазерленд: Иррациональность: почему мы не думаем прямо. Пинтер и Мартин, 2007 г., ISBN 978-1905177073 (англ.).
• Дэн Ариели: Предсказуемая иррациональность: скрытые силы, формирующие наши решения. Harpercollins, 2009, ISBN 978-0007256532 (англ.).

1. ↑ Вольфганг Вейн, Das Irrationale, FFM 1997, S. 31ff и S. 113.
2. ↑ Саломон Маймон, Versuch über die Transzendentalphilosophie , Darmstadt 1963, S. 419f.
3. ↑ J. G. Fichtes Leben und literarischer Briefwechsel, Hrsg. Дж. Х. Фихте, 1862, с. 345, с. 176.
4. ↑ JG Fichte, Wissenschaftslehre von 1804 , Гамбург, 1975, с. 157.
5. ↑ FW J. Schelling, Ausgewählte Schriften , Bd. II, ФФМ 1985, с. 404ф.
6. ↑ Карл Густав Юнг: Psychologische Typen . Gesammelte Werke Band 6, часть XI. Определение. § 797, ISBN 3-530-40081-5.
7. ↑ Екатерина Далипагик-Чимазия: Достоевский и Европа . Совет Европы, 1993 г., ISBN 92-871-2277-6, с. 40.

Normdaten (Sachbegriff): GND: 4192050-8 (ОГНД, АКС)

Рациональное число — Простая английская Википедия, свободная энциклопедия

Переключить оглавление

Из простой английской Википедии, бесплатной энциклопедии

В математике рациональное число — это число, которое можно записать в виде дроби. Набор рациональных чисел часто обозначается символом Q {\ displaystyle \ mathbb {Q}}, что в английском языке означает «частное». ^{[1] [2]}

Все рациональные числа являются действительными числами и могут быть положительными или отрицательными. Число, не являющееся рациональным, называется иррациональным. ^[3]

Большинство чисел, которые люди используют в повседневной жизни, являются рациональными. К ним относятся дроби, целые числа и числа с конечными десятичными цифрами. В общем, число, которое можно записать в виде дроби, пока оно находится в своей собственной форме, является рациональным.

Дробная форма[изменить | изменить источник]

Все рациональные числа можно записать в виде дроби. Возьмите 1,5 в качестве примера, это может быть записано как 112{\displaystyle 1{\frac {1}{2}}}, 32{\displaystyle {\frac {3}{2}}}, или 3/2{\ стиль отображения 3/2}.

Другие примеры дробей, являющихся рациональными числами, включают 17{\displaystyle {\frac {1}{7}}}, −89{\displaystyle {\frac {-8}{9}}} и 25{\displaystyle {\ гидроразрыва {2} {5}}}.

Завершающие десятичные дроби[изменить | изменить источник]

Завершающее десятичное число — это десятичное число с определенным количеством цифр справа от десятичной точки. Примеры включают 3.2, 4.075 и -300.12002. Все это рационально. Другой хороший пример: 0,9582938472938498234.

Повторяющиеся десятичные дроби[изменить | изменить источник]

Повторяющееся десятичное число — это десятичное число, в котором справа от десятичной точки находится бесконечно много цифр, но которые следуют повторяющемуся шаблону.

Примером этого является 13{\displaystyle {\frac {1}{3}}}. В виде десятичного числа оно записывается как 0,3333333333 . Точки означают, что цифра 3 повторяется вечно.

Иногда группа цифр повторяется. Например, 111{\displaystyle {\frac {1}{11}}}. В десятичном виде записывается как 0,09090909 . В данном примере группа цифр 09 повторяется.

Также иногда цифры повторяются после другой группы цифр. Например, 16{\displaystyle {\frac {1}{6}}}. Записывается как 0,16666666 . В этом примере повторяется цифра 6 , следующая за цифрой 1.

Если вы попробуете это на своем калькуляторе, иногда он может сделать ошибку округления в конце. Например, ваш калькулятор может сказать, что 23 = 0,6666667 {\ displaystyle {\ frac {2} {3}} = 0,6666667}, даже если 7 не существует. Он округляет 6 в конце до 7.

Цифры после запятой в иррациональном числе не повторяются бесконечно. Например, первые несколько цифр числа π (Pi) равны 3,1415926535.