Циклоид это: Циклоидный (циклотимный) тип акцентуации личности по Леонгарду

ЦИКЛОИДА | Энциклопедия Кругосвет

ЦИКЛОИДА (в переводе с греч. кругообразный) – плоская трансцендентная кривая, которую описывает точка окружности радиуса r, катящейся по прямой без скольжения (трансцендентной кривой называется кривая, которая в прямоугольных координатах не может быть описана алгебраическим уравнением). Ее параметрическое уравнение

x = rtr sin t,
y = r – r cos t

Точки пересечения циклоиды с прямой, по которой катится окружность (эта окружность называется производящей, а прямая, по которой она катится, – направляющей), называются точками возврата, а самые высокие точки на циклоиде, расположенные посредине между соседними точками возврата, называются вершинами циклоиды.

Первым изучать циклоиду начал Галилео Галилей. Длина одной арки циклоиды была определена в 1658 английским архитектором и математиком Кристофером Реном, автором проекта и строителем купола собора Святого Павла в Лондоне. Оказалось, что длина циклоиды равна 8-ми радиусам производящей окружности.
Одно из замечательных свойств циклоиды, давшее ей название – брахистохрона (от греческих слов «кратчайший» и «время) связано с решением задачи о наискорейшем спуске. Встал вопрос, какую форму надо придать хорошо отшлифованному (чтобы практически исключить трение) желобу, соединяющему две  точки, чтобы шарик скатился вниз от одной точки к другой в кратчайшее время. Братья Бернулли доказали, что желоб должен иметь форму опрокинутой вниз циклоиды.

Родственные циклоиде кривые можно получить, рассматривая траектории точек, не находящихся на производящей окружности.

Пусть точка С0 находится внутри окружности. Если провести через С0 вспомогательную окружность с тем же центром, что и у производящей окружности, то при качении производящей окружности по прямой АВ маленькая окружность будет катиться по прямой A´В´, но ее качение  будет сопровождаться скольжением, и точка С0 описывает кривую, называемую укороченной циклоидой.

Аналогичным образом определяется удлиненная циклоида – это траектория точки, расположенной на продолжении радиуса производящей окружности, при этом качение сопровождается скольжением в противоположном направлении.

Циклоидальные кривые применяются при многих технических расчетах и свойства их используются, например, при построении профилей зубьев шестерен, в циклоидальных маятниках, в оптике и, таким образом, изучение этих кривых важно с прикладной точки зрения. Не менее важно и то, что, изучая эти кривые и их свойства, ученые 17 в. разрабатывали приемы, которые привели к созданию дифференциального и интегрального исчислений, а задача о брахистохроне явилась шагом к изобретению вариационного исчисления. 

Елена Малишевская

 

Проверь себя!
Ответь на вопросы викторины «Математика»

Как звали математика, который в 19 лет решил задачу, не поддававшуюся усилиям лучших геометров со времен Евклида?

Пройти тест

Циклоида / Этюды // Математические этюды

Циклоида / Этюды // Математические этюды

Математические этюды

К списку

Пом­ните оран­же­вые пластмас­со­вые ката­фоты — све­то­от­ража­тели, при­креп­ляющи­еся к спи­цам вело­сипед­ного колеса? При­крепим ката­фот к самому ободу колеса и про­сле­дим за его тра­ек­то­рией. Полу­чен­ные кри­вые при­над­лежат семейству цик­лоид.

Колесо при этом назы­ва­ется про­из­во­дящим кругом (или окруж­но­стью) цик­ло­иды.

Но давайте вер­нёмся в наш век и пере­ся­дем на более современ­ную тех­нику. На пути байка попался каму­шек, кото­рый застрял в про­тек­торе колеса. Про­вер­нувшись несколько кругов с коле­сом, куда поле­тит камень, когда выско­чит из про­тек­тора? Про­тив направ­ле­ния движе­ния мотоцикла или по направ­ле­нию?

Как известно, сво­бод­ное движе­ние тела начи­на­ется по каса­тель­ной к той тра­ек­то­рии, по кото­рой оно двига­лось. Каса­тель­ная к цик­ло­иде все­гда направ­лена по направ­ле­нию движе­ния и про­хо­дит через верх­нюю точку про­из­во­дящей окруж­но­сти. По направ­ле­нию движе­ния поле­тит и наш каму­шек.

Пом­ните, как Вы ката­лись в дет­стве по лужам на вело­сипеде без зад­него крыла? Мок­рая полоска на вашей спине явля­ется житейским под­твер­жде­нием только что полу­чен­ного результата.

Век XVII — это век цик­ло­иды. Лучшие учё­ные изу­чали её уди­ви­тель­ные свойства.

Какая тра­ек­то­рия при­ве­дёт тело, движуще­еся под действием силы тяже­сти, из одной точки в другую за крат­чайшее время? Это была одна из пер­вых задач той науки, кото­рая сей­час носит назва­ние вари­аци­он­ное исчис­ле­ние.

Мини­ми­зи­ро­вать (или мак­си­ми­зи­ро­вать) можно раз­ные вещи — длину пути, ско­рость, время. В задаче о бра­хи­сто­хроне мини­ми­зи­ру­ется именно время (что под­чёр­ки­ва­ется самим назва­нием: греч. βράχιστος — наименьший, χρόνος — время).

Пер­вое, что при­хо­дит на ум, — это прямо­ли­ней­ная тра­ек­то­рия. Давайте также рас­смот­рим пере­вёр­ну­тую цик­ло­иду с точ­кой воз­врата в верх­ней из задан­ных точек. И, сле­дуя за Гали­лео Гали­леем, — чет­вер­тинку окруж­но­сти, соеди­няющую наши точки.

Сде­лаем боб­слей­ные трассы с рас­смот­рен­ными профи­лями и про­сле­дим, какой из бобов при­е­дет пер­вым.

Исто­рия боб­слея берёт своё начало в Швейца­рии. В 1924 году во фран­цуз­ском городе Шамони про­хо­дят пер­вые зим­ние Олимпийские игры. На них уже про­во­дятся сорев­но­ва­ния по боб­слею для экипажей двоек и чет­вё­рок. Един­ствен­ный год, когда на Олимпийских играх экипаж боба состоял из пяти чело­век, был 1928. С тех пор в боб­слее все­гда сорев­нуются муж­ские экипажи двойки и чет­вёрки. В пра­ви­лах боб­слея много инте­рес­ного. Конечно же, суще­ствует огра­ни­че­ния на вес боба и команды, но суще­ствуют даже огра­ни­че­ния на мате­ри­алы, кото­рые можно исполь­зо­вать в конь­ках боба (перед­няя пара их подвижна и свя­зана с рулём, зад­няя закреп­лена жёстко). Напри­мер, радий не может исполь­зо­ваться при изго­тов­ле­нии конь­ков.

Дадим старт нашим чет­вёр­кам. Какой же боб пер­вым при­е­дет к финишу? Боб зелё­ного цвета, выступающий за команду Матема­ти­че­ских этю­дов и катившийся по цик­ло­и­даль­ной горке, при­хо­дит пер­вым!

Почему же Гали­лео Гали­лей рас­смат­ри­вал чет­вер­тинку окруж­но­сти и счи­тал, что это наи­лучшая в смысле времени тра­ек­то­рия спуска? Он впи­сы­вал в неё лома­ные и заме­тил, что при уве­ли­че­нии числа зве­ньев время спуска уменьша­ется. Отсюда Гали­лей есте­ствен­ным обра­зом перешёл к окруж­но­сти, но сде­лал невер­ный вывод, что эта тра­ек­то­рия наи­лучшая среди всех возмож­ных. Как мы видели, наи­лучшей тра­ек­то­рией явля­ется цик­ло­ида.

Через две дан­ные точки можно про­ве­сти един­ствен­ную цик­ло­иду с усло­вием, что в верх­ней точке нахо­дится точка воз­врата цик­ло­иды. И даже когда цик­ло­иде при­хо­дится под­ниматься, чтобы пройти через вто­рую точку, она всё равно будет кри­вой наи­ско­рейшего спуска!

Ещё одна кра­си­вая задача, свя­зан­ная с цик­ло­и­дой, — задача о тау­то­хроне. В пере­воде с гре­че­ского ταύτίς озна­чает «тот же самый», χρόνος, как мы уже знаем — «время».

Сде­лаем три оди­на­ко­вые горки с профи­лем в виде цик­ло­иды, так, чтобы концы горок совпа­дали и рас­по­лага­лись в вершине цик­ло­иды. Поста­вим три боба на раз­ные высоты и дадим отмашку. Уди­ви­тель­нейший факт — все бобы при­едут вниз одно­временно!

Зимой Вы можете постро­ить во дворе горку изо льда и про­ве­рить это свойство вжи­вую.

Задача о тау­то­хроне состоит в нахож­де­нии такой кри­вой, что, начи­ная с любого началь­ного положе­ния, время спуска в задан­ную точку будет оди­на­ко­вым.

Хри­стиан Гюйгенс дока­зал, что един­ствен­ной тау­то­хро­ной явля­ется цик­ло­ида.

Конечно же, Гюйгенса не инте­ре­со­вал спуск по ледя­ным гор­кам. В то время учё­ные не имели такой рос­коши заниматься нау­ками из любви к искус­ству. Задачи, кото­рые изу­ча­лись, исхо­дили из жизни и запро­сов тех­ники того времени. В XVII веке совершаются уже даль­ние мор­ские пла­ва­ния. Широту моряки умели опре­де­лять уже доста­точно точно, но уди­ви­тельно, что долготу не умели опре­де­лять совсем. И один из пред­лагавшихся спо­со­бов изме­ре­ния широты был осно­ван на нали­чии точ­ных хро­номет­ров.

Пер­вым, кто задумал делать маят­ни­ко­вые часы, кото­рые были бы точны, был Гали­лео Гали­лей. Однако в тот момент, когда он начи­нает их реа­ли­зо­вы­вать, он уже стар, он слеп, и за оставшийся год своей жизни учё­ный не успе­вает сде­лать часы.

Он завещает это сыну, однако тот мед­лит и начи­нает заниматься маят­ни­ком тоже лишь перед смер­тью и не успе­вает реа­ли­зо­вать замы­сел. Сле­дующей зна­ко­вой фигу­рой был Хри­стиан Гюйгенс.

Он заме­тил, что период коле­ба­ния обыч­ного маят­ника, рас­смат­ри­вавшегося Гали­леем, зави­сит от изна­чаль­ного положе­ния, т.е. от ампли­туды. Задумавшись о том, какова должна быть тра­ек­то­рия движе­ния груза, чтобы время каче­ния по ней не зави­село от ампли­туды, он решает задачу о тау­то­хроне. Но как заста­вить груз двигаться по цик­ло­иде? Пере­водя тео­ре­ти­че­ские иссле­до­ва­ния в прак­ти­че­скую плос­кость, Гюйгенс делает «щёчки», на кото­рые нама­ты­ва­ется веревка маят­ника, и решает ещё несколько матема­ти­че­ских задач. Он дока­зы­вает, что «щёчки» должны иметь профиль той же самой цик­ло­иды, тем самым пока­зы­вая, что эво­лю­той цик­ло­иды явля­ется цик­ло­ида с теми же парамет­рами.

Кроме того, пред­ложен­ная Гюйген­сом кон­струкция цик­ло­и­даль­ного маят­ника поз­во­ляет посчи­тать длину цик­ло­иды. Если синюю ниточку, длина кото­рой равна четырём ради­у­сам про­из­во­дящего круга, мак­симально откло­нить, то её конец будет в точке пере­се­че­ния «щёчки» и цик­ло­иды-тра­ек­то­рии, т.е. в вершине цик­ло­иды-«щёчки». Так как это поло­вина длины арки цик­ло­иды, то пол­ная длина равна восьми ради­у­сам про­из­во­дящего круга.

Хри­стиан Гюйгенс сде­лал цик­ло­и­даль­ный маят­ник, и часы с ним про­хо­дили испыта­ния в мор­ских путеше­ствиях, но не при­жи­лись. Впро­чем, так же, как и часы с обыч­ным маят­ни­ком для этих целей.

Отчего же, однако, до сих пор суще­ствуют часо­вые меха­низмы с обык­но­вен­ным маят­ни­ком? Если при­гля­деться, то при малых откло­не­ниях, как у крас­ного маят­ника, «щёчки» цик­ло­и­даль­ного маят­ника почти не ока­зы­вают вли­я­ния. Соот­вет­ственно, движе­ние по цик­ло­иде и по окруж­но­сти при малых откло­не­ниях почти совпа­дают.

Лите­ра­тура

Берман Г. Н. Цик­ло­ида. — М. : Наука, 1980.

Гин­ди­кин С. Г. Рас­сказы о физи­ках и матема­ти­ках. — М. : МЦНМО, 2006.

Другие этюды раздела «Замечательные кривые»

  Цепная линия  Винтовая линия

Математические этюды

Циклоид | математика | Британика

  • Развлечения и поп-культура
  • География и путешествия
  • Здоровье и медицина
  • Образ жизни и социальные вопросы
  • Литература
  • Философия и религия
  • Политика, право и правительство
  • Наука
  • Спорт и отдых
  • Технология
  • Изобразительное искусство
  • Всемирная история
  • Этот день в истории
  • Викторины
  • Подкасты
  • Словарь
  • Биографии
  • Резюме
  • Популярные вопросы
  • Инфографика
  • Демистификация
  • Списки
  • #WTFact
  • Товарищи
  • Галереи изображений
  • Прожектор
  • Форум
  • Один хороший факт
  • Развлечения и поп-культура
  • География и путешествия
  • Здоровье и медицина
  • Образ жизни и социальные вопросы
  • Литература
  • Философия и религия
  • Политика, право и правительство
  • Наука
  • Спорт и отдых
  • Технология
  • Изобразительное искусство
  • Всемирная история
  • Britannica объясняет
    В этих видеороликах Britannica объясняет различные темы и отвечает на часто задаваемые вопросы.
  • Britannica Classics
    Посмотрите эти ретро-видео из архивов Encyclopedia Britannica.
  • Demystified Videos
    В Demystified у Britannica есть все ответы на ваши животрепещущие вопросы.
  • #WTFact Видео
    В #WTFact Britannica делится некоторыми из самых странных фактов, которые мы можем найти.
  • На этот раз в истории
    В этих видеороликах узнайте, что произошло в этом месяце (или любом другом месяце!) в истории.
  • Студенческий портал
    Britannica — это главный ресурс для учащихся по ключевым школьным предметам, таким как история, государственное управление, литература и т. д.
  • Портал COVID-19
    Хотя этот глобальный кризис в области здравоохранения продолжает развиваться, может быть полезно обратиться к прошлым пандемиям, чтобы лучше понять, как реагировать сегодня.
  • 100 женщин
    Britannica празднует столетие Девятнадцатой поправки, выделяя суфражисток и политиков, творящих историю.
  • Спасение Земли
    Британника представляет список дел Земли на 21 век. Узнайте об основных экологических проблемах, стоящих перед нашей планетой, и о том, что с ними можно сделать!
  • SpaceNext50
    Britannica представляет SpaceNext50. От полета на Луну до управления космосом — мы изучаем широкий спектр тем, которые питают наше любопытство к космосу!

Содержание

  • Введение

Краткие факты

  • Связанный контент

линия | математика | Британика

  • Развлечения и поп-культура
  • География и путешествия
  • Здоровье и медицина
  • Образ жизни и социальные вопросы
  • Литература
  • Философия и религия
  • Политика, право и правительство
  • Наука
  • Спорт и отдых
  • Технология
  • Изобразительное искусство
  • Всемирная история
  • Этот день в истории
  • Викторины
  • Подкасты
  • Словарь
  • Биографии
  • Резюме
  • Популярные вопросы
  • Инфографика
  • Демистификация
  • Списки
  • #WTFact
  • Товарищи
  • Галереи изображений
  • Прожектор
  • Форум
  • Один хороший факт
  • Развлечения и поп-культура
  • География и путешествия
  • Здоровье и медицина
  • Образ жизни и социальные вопросы
  • Литература
  • Философия и религия
  • Политика, право и правительство
  • Наука
  • Спорт и отдых
  • Технология
  • Изобразительное искусство
  • Всемирная история
  • Britannica объясняет
    В этих видеороликах Britannica объясняет различные темы и отвечает на часто задаваемые вопросы.
  • Britannica Classics
    Посмотрите эти ретро-видео из архивов Encyclopedia Britannica.
  • Demystified Videos
    В Demystified у Britannica есть все ответы на ваши животрепещущие вопросы.
  • #WTFact Видео
    В #WTFact Britannica делится некоторыми из самых странных фактов, которые мы можем найти.
  • На этот раз в истории
    В этих видеороликах узнайте, что произошло в этом месяце (или любом другом месяце!) в истории.
  • Студенческий портал
    Britannica — это главный ресурс для учащихся по ключевым школьным предметам, таким как история, правительство, литература и т. д.
  • Портал COVID-19
    Хотя этот глобальный кризис в области здравоохранения продолжает развиваться, может быть полезно обратиться к прошлым пандемиям, чтобы лучше понять, как реагировать сегодня.
  • 100 женщин
    Britannica празднует столетие Девятнадцатой поправки, выделяя суфражисток и политиков, творящих историю.

About the Author

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Related Posts