Важные тавтологии в науке. Часть 1. Физика / Хабр
Вы знаете, что такое логическая тавтология? Наверное знаете. А на тот случай, если вы этого не знаете, автор постарается сейчас объяснить это понятие. Не станем переходить на сухой и формальный язык математики, не будем бездушными педантами, как Википедия, и скажем образно: тавтология это подобие Уробороса, кусающего свой собственный хвост. К примеру, «ничто, — это когда ничего нет», или, «предметы, которые достаточно узкие и низкие, чтобы пройти в этот дверной проём, легко пройдут через него» и тому подобное. Такие утверждения всегда истинны, и они, грубо говоря, не несут никакой новой информации. Как ни удивительно, но ряд важных законов и принципов науки содержит в себе скрытые тавтологии, что, однако, нисколько не умаляет их важности и правильности. Интересно? Тогда вперёд, под кат!
Императору Сарлака Гранту Сциентикусу III было скучно. Очень скучно. Обычно, когда он чувствовал скуку, он играл в камни (довольно простая, но хитрая игра, похожая одновременно на наши шашки, реверси и Го
Однако сегодня никто из философов, обычно игравших с ним, не пришёл. Он сидел понурившись, и разглядывал одну из позиций.Внутренний экспериментатор Гранта решил сосчитать число возможных позиций. Давайте покинем его на этом месте, и займемся своим собственным подсчетом.
По правилам разрешается иметь до 3 камней на одной клетке. Всего камней 6 (по 3 у каждого игрока). Мы не станем считать число всех возможных позиций. Куда как интереснее посчитать, сколькими способами можно выложить позицию. Но, для начала, посмотрите на рисунок.
Для простоты мы пока рассматриваем лишь одну клетку. Указанную выше позицию можно получить, например, вот такими тремя способами, отличающимися тем, какие именно камни мы выкладывали на доску:
  
Мы условно раскрасили камни, чтобы можно было отличить их друг от друга. Очевидно, способов намного больше трёх. Но сколько именно? Первый из трёх камней мы можем выбрать шестью способами.
Чтобы найти число повторов, найдём сколькими способами мы можем выложить на доску три камня одного цвета. Первым может быть любой из трех нужных камней, вторым должен быть один из оставшихся двух, третьим обязательно будет последний нужный нам камень: .
В итоге, имеем 120/6=20 способов выложить камни требуемым образом. Давайте назовем это число весом данной позиции. Ничего общего с физическим весом оно, конечно же, не имеет, просто это название является общепринятым в статистике.
  
Если вам лень разбираться во всей этой математике, пропустите следующий абзац.
Первая позиция:
- Выкладываем 2 камня на одну из двух левых клеток:
- На вторую клетку выкладываем два камня из оставшихся 4:
- Итого имеем способов.
Для второй и третьей имеем соответственно и . Деление во всех случаях выполняется для того, чтобы избавиться от повторов.
Итак, имеем следующие веса: 90 для первой раскладки, 180 для второй и 360 для третьей. Вы заметили, что чем более упорядочена позиция, тем меньше её вес? Его величество Грант это заметил. И теперь он собирается посчитать вес для реальных игровых позиций.
  
У него получается, соответственно 90, 360 и 720. Однако тут его терпение кончается (как, наверное, и ваше). Он расстроенно толкает доску, беспорядочно разметав камни и замечает стоящего у дверей философа Клофзюса.— А скажи-ка мне, философ, — спрашивает он с нотками недовольства, — почему, когда я толкаю доску, камни разлетаются по ней беспорядочно, равномерно, а не укладываются с краю по три в клетке?
Клофзюс, в ответ на это улыбнулся и сказал:
— Я некоторое время наблюдал за вашими подсчётами, повелитель, и вы, наверно могли бы уже и сами ответить на этот вопрос.
Но я всё же скажу — упорядочиться с края доски камни могут девяносто разными способами, а рассеяться по всем клеткам — семьсот двадцатью. Для камней существует намного больше способов быть разбросанными по доске равномерно, чем собранными с краю.
Пожалуй, тут мы покинем Сарлак. Но обратите внимание на объяснение Клофзюса: камни рассыпаются по доске потому, что для них существуют куда больше способов быть рассыпанными равномерно, чем быть разложенными полностью упорядоченно. И разница между количествами способов (весами раскладок камней) тем больше, чем больше доска и число камней. Для доски в 15 клеток (3 на 5) и 15 камней вес полностью упорядоченной раскладки (по 3 камня в клетке вдоль одного края) равен примерно 1.4 миллионам (1401400 если точно) а для равномерной (по одному в каждой клетке) — примерно 1.3 квадриллионам, то есть почти в миллион раз больше. Следовательно, в данном случае намного легче получить беспорядок, чем получить порядок. Невольно вспоминается такое замечательное утверждение: «Яйца разбиваются на каждом шагу, но никто никогда не видел, чтобы ошмётки разбитого яйца сообрались вместе и стали целым яйцом.
Обобщим замеченную нами закономерность:
В любом процессе, который происходит сам по себе, без дополнительного воздействия извне, скорее всего реализуется тот результат, которого можно достичь наибольшим числом способов.
Приглядитесь, это ведь тавтология во всей красе. Если все упростить, то я просто утверждаю, что «то, чему легче произойти, происходит чаще». Однако, это одновременно и один из важнейших физических законов. Многие из вас уже, наверное, поняли, что речь идет о втором начале термодинамики. Давайте посмотрим на одну из его «официальных» формулировок:
Энтропия замкнутой системы не может уменьшаться.
Теперь это меньше похоже на тавтологию, да? Но что же это за умное слово — энтропия?
Давайте представим воздух, заполняющий комнату. Он состоит из огромного количества молекул. Если мы мысленно разделим комнату на ячейки, мы получим трехмерный аналог игры в камни на очень большой доске с огромным количеством камней.
Определение из книги: энтропией состояния системы называется логарифм вероятности реализации данного состояния.
Переведем на язык, понятный Гранту, — энтропия позиции это логарифм веса данной позиции. Попробуем сделать это ещё понятнее: чем большим числом способов можно получить позицию, тем больше энтропия.
Теперь мы видим, что книжная формулировка второго начала говорит следующее: от какой-либо позиции сам по себе может происходить только переход к такой позиции, которую можно получить большим чем или таким же числом путей, как и начальную.
Попробуем еще упростить: если мы потрясем доску, мы скорее получим такую позицию, какую легче получить.
Кажется, мы опять пришли к тавтологии. Однако, даже если это и тавтология, второе начало — один из важнейших физических законов. Более того, это единственный закон физики, который говорит нам, что время должно течь в определённом направлении, который делает различия между прошлым и будущим.
Напоследок, давайте посмотрим еще пару формулировок второго начала:
- Постулат Клаузиуса: Невозможен круговой процесс, единственным результатом которого является передача теплоты от менее нагретого тела к более нагретому
- Постулат Томсона: Невозможен круговой процесс, единственным результатом которого было бы производство работы за счёт охлаждения теплового резервуара.
Как видите, здесь уже нет тавтологии. И ни одна из них не очевидна. Однако, можно показать, что обе эти формулировки полностью равнозначны тавтологическому «наиболее вероятно, что произойдет то, вероятность чего больше». Иногда, для того, чтобы узнать что-то новое, нам нужно сначала осознать что-то очевидное.
В следующей части мы рассмотрим другую «научную тавтологию», которая, на первый взгляд, нарушает второе начало термодинамики.
Людвиг Витгенштейн o cущности тавтологии: эволюция взгляда Группа компаний ИНФРА-М — Эдиторум
Согласно логицистской традиции в философии математики и логики пропозиции понимаются как аналитические суждения, в конечном счете, отождествляемые с тавтологиями. Тавтологии определяются в исчислении высказываний как пропозициональные формы, истинностная функция которых всегда принимает значение «истины». Истинность тавтологии несомненна [1, 4.464].
Истинное значение молекулярного суждения зависит от тех элементарных предложений, которые являются функцией истины.
Обычные функции-истины имеют смысл, поскольку они изображают возможные состояния дел истинно или ложно. Тавтологии и противоречия, напротив, ничего не говорят.
Безусловно, Витгенштейн не был первым, кто понимал предложения логики и математики как тавтологии. Но следует отметить различия философа по данному вопросу с его «учителями», так, согласно Фреге, истины логики являются аналитическими (уже «Тавтологии, по Канту, определяют аналитический тип истинности» [2, с.
54]), поскольку выводимы из определений и самоочевидных аксиом, но соотносятся с идеями «третьего царства», Рассел же считал, что логические истины выражают общие признаки реальности и являются ничем иным, как константами [3, с. 354-355].
Согласно изобразительной теории «Логико-философского трактата», язык и мир взаимно отражают друг друга. Тогда в тавтологии истинностные условия (соответствие миру) «аннулируются», ибо истинность предложения заключается в том, что оно действительно имеет определенное отношение к реальности [4, p. 60].
По мысли автора «Трактата» тавтология и противоречие не являются образами действительности. Ибо они не изображают никакого положения вещей, так как первая допускает любое возможное положение, а второе не допускают никакого [1, 4.462]. Предложение есть определенная комбинация знаков, которой соответствует определенная комбинация значений. «Любая же произвольная комбинация соответствует только несвязанным знакам» [1, 4.
466]. Значит, если тавтология и противоречия не есть образы элементов мира, то тогда они не обладают смыслом.
Если p – тавтология, скажем, p – «Если дождь идет, то дождь идет», то «А знает, что p имеет место» не имеет смысла, иначе говоря, тавтология ничего не говорит о погодном явлении, есть ли оно или нет, т.е. оно не обладает действительным отношением к миру.
Но решающим моментом является то, что, хотя истинность биполярных суждений можно определить только путем сравнения их с реальностью, даже сложные тавтологии могут быть признаны истинными «от одного символа», а именно посредством вычислений, использующих «только правила, имеющие дело со знаками» (1, 6.113; 1, 6.126). «Подход Витгенштейна в данном вопросе традиционен и может быть описан простейшей пропозициональной и предикатной алгеброй, где истинность тавтологий и противоречий – это экстенсиональное отношение аргументов с функциональными знаками и кванторами» [2, с. 55].
Логические положения не являются истинами об абсолютной реальности и не выражают особый тип знания, как это традиционно предполагалось; поскольку они отличаются от всех других предложений в силу того, что они пусты (1, 5.
1362; 1, 6.111). Изложение Витгенштейна также ставит более конкретные сомнения в аксиоматическом представлении логики Фреге и Рассела.
Не существует привилегированных логических положений («аксиом» или «основных законов»), из которых вытекают все остальные («теоремы»). Это вопрос безразличия, из которого логично предложение 1 начинается; все они имеют одинаковый статус, а именно тавтологии, и все они говорят одно и то же – ничего (1, 5.43; 1, 6.127f; NB 10.6.15).
Тогда какую роль играют тавтологии и противоречия? Необходимо отметить, что Витгенштейн разделяет характеристики «бессмысленность» и «не обладать смыслом»; если первые относятся к псевдопропозициям метафизики, этики и эстетики, то вторые – к части аппарата символики подобно «0». Они есть часть символики арифметики [1, 4.4611]. Поэтому логическое произведение тавтологии и предложения тождественно (ибо говорит об одном и том же) с самим предложением.
Для логических позитивистов главной целью стал проект создания той формы эмпиризма, которая могла бы объяснить логическую необходимость, не сводя ее к эмпирической общности, при этом, не впадая в платонизм и / или не допуская синтетическую априорную истину.
Необходимые положения, утверждали логические позитивисты, априорны, но не сводятся к знанию о мире. Ибо в Tractatus («Логико-философский трактат») казалось, что все необходимые предложения можно рассматривать как аналитические, т.е. истинные исключительно в силу значений составляющих их слов. Логические истины – это тавтологии, которые истинны в силу значения только логических констант, а аналитические истины могут быть сведены к тавтологиям, заменяя схожие слова синонимами – таким образом, фраза «Все холостяки не женаты» трансформируется в «Все неженатые мужчины не женаты». Необходимые утверждения, далекие от отражения сверхэмпирической сущности реальности, верны в силу условностей, регулирующих использование слов людьми. Для самого Л. Витгенштейна существуют различия между логическими тавтологиями (их бессмысленность) и математическими выражениями, которые являются псевдопредожениями [5, P. 200-201].
Во «втором» периоде своего творчества тавтологии у Л. Витгенштейна, в первую очередь, понимаются как «правила», а именно как «проясняющая» деятельность по применению символов [См.
: 6]. «Математик, поскольку он действительно «играет в игру», не делает выводов. Ибо «играть» должно означать здесь: действовать в соответствии с определенными правилами. И даже если бы он сделал вывод, что, согласно общему правилу, он может действовать здесь таким образом, это уже было бы выходом за пределы простой игры» [7, c. 140]. В «Лекциях по основаниям математики» Людвиг Витгенштейн делает определенную попытку наметить путь к не-расселовской философии математики. Как известно, для выражения «p&~p» существует только одно значение («False», ложь). Тогда ~(p&~p) является законом противоречия, который имеет истинное значение во всех случаях («True», истина). Таким образом, все предложения математики, по Расселу, сводимы к примитивным предложениям, которые являются тавтологиями [6, p. 177]. Как пишет сам философ: «Но хотя мы все в этом согласны, мы не пытаемся понять, является ли это тавтологией. Мы могли бы расширить использование «тавтологии». Мы не говорим, что если то-то и то-то является тавтологией, можно сделать вывод, но что, поскольку вывод может быть сделан таким-то и таким образом, это тавтология» [6, P.
285].
Также обратим внимание на цитату, приведенную в «Культуре и ценности»: «Я читаю у Лессинга (о Библии): «Прибавь к этому еще ее манеру изложения и стиль… насквозь пронизанный тавтологиями, но тавтологиями, требующими проницательности, ибо они кажутся то говорящими о чем-то другом, когда говорят именно это, то утверждающими именно то, что утверждают, хотя в принципе они означают или могут означать что-то другое»» [8, с. 420]. Тут явно чувствуется та тема, к которой философ неоднократно обращался – это «невыразимое» («мистическое»), то, о чем невозможно сказать. Ценность ввиду ее трансцендентной природы, согласно мысли философа, выражается в поступках (деятельности). В таком случае описание (формально-дескриптивный или естественный язык) поступка так и остается описанием поступка, для прояснения ее в качестве возможной методики остается направление указания на нечто. «Точно так же вы можете сказать, что если вы дадите мужчине противоречивый приказ, ему вообще не будет места, чтобы двигаться; и если вы дадите ему тавтологический приказ (“Уходи из комнаты или не выходи из комнаты”), он может делать все, что ему заблагорассудится» [7, p.
178].
Тем самым, совершается переход от теоретической плоскости к практической в уразумении тавтологий. Этот переход необходим для англо-австрийского философа, чтобы решать практические задачи самого разнообразного толка, связанные с формальным и естественным языками. Таким образом, во «втором» этапе творчества Людвига Витгенштейна тавтологии преимущественно нацелены на разрешение повседневных проблем практической жизни.
В заключение, стоит отметить, что понимание сущности тавтологий в философии Л. Витгенштейна проделало немалый путь: от пропозициональных форм, истинностная функция которых всегда принимает значение «истины» до «правил», которые проясняют деятельность по применению символов.
Тавтология — RationalWiki
«Первое правило клуба тавтологов — это первое правило клуба тавтологов. |
| — xkcd [1] |
A тавтология — это тавтологическое утверждение, которое тавтологично по своей природе.
Содержимое
- 1 А если серьезно
- 2 Формальное определение
- 3 Законное использование
- 4 Парадигмальный пример: «Que será será»
- 5 См. также
- 6 Примечания
- 7 Каталожные номера
А если серьезно[править]
Тавтология — это утверждение, которое в силу логики и ничего более верно, но так, что оно не содержит никакой полезной информации: «Красный велосипед — красный». Иногда это может выходить за рамки простой логики и доходить до очевидных определений: «У красного велосипеда два колеса».
Иногда тавтологии трудно выделить и идентифицировать, когда они погребены в массе аргументированной прозы. В других ситуациях это может быть скрыто экспериментальным планом. [2]
Один из видов тавтологии — это «предположение антецедента», также известное как «круговая логика». Этим часто занимаются сторонники Библии, которые оправдывают свои аргументы библейскими цитатами и принимают собственные утверждения Библии как доказательство их истинности.
формальное определение
Сведенный к утверждению « А подразумевает А », это на самом деле простейшая форма тавтологии.
Разрешенное использование[править]
Тавтологии могут быть полезны для подчеркивания важных фактов или их придания более полезной форме. Тавтологии также можно использовать в качестве отправной точки для некоторых логических методов (в частности, большинство формальных определений математики частично зависят от тавтологии «А = А», помогающей определить концепцию математического равенства). И, естественно, любое предположение, не согласующееся с тавтологией, ложно.
A paradigm example: “Que será será”[edit]
Doris Day’s innoxious “tautological fatalism”: [note 1]
youtube.com/embed/_91hU6LDjoA?» frameborder=»0″ allowfullscreen=»true»> See also[edit]
- Begging the question
- ↑ Музыка из фильма «Человек, который слишком много знал»; фраза «тавтологический фатализм» заимствована у В.В. Quine см. Science and Sensibilia , p. 73.
Ссылки[править]
- ↑ Клуб тавтологии xkcd .
- ↑ Например, см. Насколько тавтологичны межвидовые корреляции канцерогенной активности? Дэвид А. Фридман, Лоис Свирски Голд и Томас Х. Слоун (1993) Анализ рисков vol. 13, нет. 3, стр. 265-272 (архивировано 30 августа 2017 г.).
Эта статья, связанная с логикой, является заготовкой .
Вы можете помочь RationalWiki, расширив ее .
логика — Что означает условная тавтология?
В исчислении секвенций у вас есть секвенция, которую часто записывают как $\Gamma \vdash P$, где $\Gamma$ — список предложений, а $P$ — предложение (или $P$ также может быть списком предложений).
в этом случае метапеременная $\Delta$ часто используется для получения $\Gamma\vdash\Delta$). Обычно (но иногда обозначения используются немного по-другому) это означает, что при условии, что утверждения в $\Gamma$ выполняются, $P$ выполняется. Таким образом, безусловная тавтология в этом обозначении выглядит как $\vdash P$.
Неудивительно, что правила для $\to$ по существу усваивают это метатеоретическое условное рассуждение: $$\cfrac{\Gamma,P\vdash Q}{\Gamma\vdash P\to Q}$$ всякая условная тавтология, $P\vdash Q$, может быть сведена к безусловной тавтологии: $\vdash P\to Q$. Просто сделайте это несколько раз, если имеется более одного предположения: $P,Q\vdash R \iff \vdash P\to(Q\to R)$, или вы можете использовать конъюнкцию, чтобы объединить их, если у вас есть конъюнкция: $P, Q\vdash R \iff \vdash(P\land Q)\to R$.
Логика не обязательно должна иметь импликацию, т. е. $\to$ или что-то подобное, так что не обязательно всегда можно свести условную тавтологию к безусловной.
Даже когда в логике есть $\to$, часто более естественно иметь возможность напрямую говорить о гипотетических рассуждениях. Очевидно, что это полезно для импликации, но также и для отрицания и, в некоторой степени, для доказательства на примере, т. е. устранения дизъюнкции. В этом последнем случае, если вы хотите использовать допущение формы $P\lor Q$, т.е. Чтобы доказать $(P\lor Q)\to R$, рассуждение часто строится так: «Если выполняется $P$, я могу доказать $R$, а если выполняется $Q$, я могу доказать $R$, поэтому, если выполняется либо $P$, либо $Q$, я могу доказать $R$». В самом деле, это то, что утверждает естественная дедуктивная форма устранения дизъюнкции: vdash R}$$ Использование только безусловных тавтологий потребует чего-то вроде: $$\cfrac{\vdash P\lor Q\qquad\vdash P\to R\qquad \vdash Q \to R}{\vdash R}$$ Это включает $\to$ в правила для $\lor$, поэтому в этой презентации мы не можем говорить о $\lor$, не понимая также $\to$. Становится хуже. Мы потеряли $\Gamma$, поэтому предыдущее правило само по себе слабее предыдущей версии.
