Конгруэнтные отношения это: Конгруэнтность. Что такое «Конгруэнтность»? Понятие и определение термина «Конгруэнтность» – Глоссарий

Конгруэнтность (Неконгруэнтность) — Что Это Такое? Примеры

Знаете ли вы, что такое конгруэнтность в психологии? Конгруэнтный человек простыми словами — это когда его внутреннее состояние соответствует внешним проявлениям в поведении.

Если человек с очень грустными глазами говорит о том, что ему сейчас весело — вряд ли кто-то поверит, верно? И когда у многих из нас есть знакомые, после общения с которыми возникает неприятное чувство напряжения и неискренности. Вы говорите сами себе — он не тот, за кого себя выдаёт.

В статье разберёмся, что значит конгруэнтность в психологии, когда все действия, слова и эмоции взаимосвязаны и соответствуют друг другу.

Термин «конгруэнтность» образован от латинского слова, которое означает «соответствующий, пропорциональный, гармонирующий, подходящий, совпадающий».

Термин «конгруэнтный» применяется в различных сферах жизни — в психологии, технических науках, социологии, математике. Везде конгруэнтность подразумевает слаженность функционирования отдельных, дополняющих друг друга объектов для эффективной работы всей системы. Наиболее известна конгруэнтность в психологии.

Краткое содержание:

Что такое конгруэнтность в психологии?

Конгруэнтность — это в психологии состояние, при котором действия человека согласованы с его словами, мыслями и эмоциями. Практическая психология определяет конгруэнтность как слаженное функционирование жизненных характеристик и структур, которые формируют гармоничную картину действий человека. В этом значении имеется в виду конгруэнтность вербальная и невербальная.

Человек конгруэнтный — это по ощущению целостная личность, он говорит и думает одинаково, его действия гармоничны и соотносятся с выражениями чувств и эмоциями. Такому человеку достаточно быть самим собой, он не прячется за чужой маской.

Конгруэнтный человек открыт, его мимика не противоречит душевному состоянию. Он не стесняется говорить о своих переживаниях и проблемах, и в его поведении нет наигранности.

Личность конгруэнтна, когда осознаёт свои ощущения и переживания и способна к их адекватному выражению в поведении. Конгруэнтность возникает и тогда, когда два человека совпадают во взглядах или оценке чего-либо.

В целом, конгруэнтность, которая опирается на общественные нормы, относится к положительным качествам, позволяя человеку быть самим собой и «не менять маски» в зависимости от ситуации.

Состояние конгруэнтности несёт много пользы и преимуществ:

• Позволяет человеку жить в соответствии со своим кредо, придерживаясь выбранных принципов.
• Даёт возможность не напрягаться и быть расслабленным, существенно снижая затраты энергии.
• Обеспечивает человеку лёгкое естественное и притягательное самовыражение.
• Повышает контроль за эмоциями.
• Человек испытывает меньшую зависимость и давление со стороны других людей, ему не нужно лгать и придумывать различные небылицы и оправдания.

У конгруэнтных людей нет недостатка в общении. Они всегда вызывают доверие и притягивают к себе других людей. Вокруг них всегда много знакомых, друзей и приятелей.

Вместе с тем, невозможно в реальной жизни всегда поддерживать конгруэнтное состояние и вести себя так, как внутренне себя ощущаешь. И у конгруэнтности есть свои минусы и особенности.

Если быть всегда конгруэнтным, то неуместные естественные эмоции и действия будут мешать практически во всех сферах жизни. Искренность и излишняя открытость могут вызывать конфликты и непонимание.

Только представьте, ваш деловой партнёр выставляет условия, от которых хочется просто «порвать» его. Но вместо этого, вы «надеваете» улыбку и заранее заготовленными фразами начинаете торговаться и спокойно отыгрывать условия.

А если агрессивный и вспыльчивый человек, который к тому же ещё имеет низкие моральные устои, перестанет сдерживаться и начнёт проявлять своё недовольство и агрессию?

Или вспомните, всегда ли вам было весело и комфортно на различных вечеринках? Но когда хозяйка вечера подходит к вам, мягко заглядывает в глаза и спрашивает, всё ли вам нравится, то вы буквально принуждаете себя улыбнуться и поблагодарить за «такой чудесный вечер».

Минусами такой ежедневной «дипломатии» и вынужденного подавления эмоций в отношениях между людьми является накапливающийся стресс.

При разных формах общественного взаимодействия люди по-разному ведут себя. Так шутник и балагур в домашней обстановке превращается в напряжённого и молчаливого сотрудника на работе, на предприятии, где принято не шуметь и «не высовываться».

Или вспомните, как буквально «отрываются» в турецких отелях многие туристы после сдерживающих факторов социума. Правда, в случае с туристами ни безудержный отрыв на отдыхе ни напряжённый будничный формат не являются действительно конгруэнтными.

Умение быть конгруэнтными и соответствующими ситуации в числе прочих навыков развивают у разведчиков, дипломатов и сотрудников специальных служб. В этом ключе я рекомендую прочесть книгу бывшего сотрудника ФБР Джека Шафера, она называется «Включаем обаяние по методике спецслужб». В книге описаны различные уловки и трюки (речь, интонации, язык тела), которые помогут располагать к себе людей и выглядеть конгруэнтными.

📽 Психолог Юля Царенко про конгруэнтность и неконгруэнтность

Что такое неконгруэнтность (инконгруэнтность)?

Неконгруэнтность — это всегда какой-то внутренний конфликт. Человек неконгруэнтный — это когда его что-то сдерживает, когда он не может проявить те чувства и эмоции, которые испытывает. Психологи называют неконгруэнтность несоответствием опыта человека и его представлений о себе. В гуманистической психологии неконгруэнтность характеризуется отсутствием цельности личности, ранимостью, зависимостью, тревожностью.

Часто причины неконгруэнтности в поведении могут скрываться во внутреннем конфликте, когда человеку нужно выполнять определённую роль, а он не в состоянии отвечать требованиям этой роли.

Неконгруэнтное состояние — это расхождение и несоответствие между смысловым содержанием переживаний и эмоциями. Иногда такое состояние является одним из ранних симптомов шизофрении или органического заболевания головного мозга.

Современные исследования доказали, что неконгруэтные, противоречивые требования родителей к детям, когда нормы и устои семьи или отсутствуют или непостоянны, несут большую опасность для формирования личности ребёнка. Дети из таких семей больше других подвержены вероятности стать алкоголиками или наркоманами.

Кто ввёл термин конгруэнтность?

Теперь расскажу, кто ввёл понятие конгруэнтность. Здесь опять «отличились» представители американской школы. Конгруэнтность впервые выделил и описал Карл Роджерс.

Карл Роджерс — американский психолог двадцатого века, в 1947 г. — глава Американской психологической ассоциации. К. Роджерс вместе с А. Маслоу (автором известной Пирамиды потребностей) является основателем гуманистической психологии — направления, рассматривающего личность как целостную уникальную систему. Карл Роджерс предложил особый метод психотерапии («клиенто-центрированная психотерапия»), где изменил основной принцип — пациент (не терапевт) является экспертом самому себе.

Описывая конгруэнтность в психологии, Карл Роджерс в своей теории подчёркивал, что индивид является центром постоянно изменяющегося мира. Учёный подчёркивал, что поведение человека нужно принимать и оценивать не просто с позиции наблюдателя, а с позиции самой личности и её субъективного восприятия. Наиболее остро ощущается нехватка конгруэнтности у тех, кто находится в состоянии конфликта и борьбы с самим собой.

Неконгруэнтность (инконгруэнтность) — это в психологии, согласно определению К. Роджерса, — неспособность или нежелание к соответствующей коммуникации, к адекватному восприятию из-за различия в коммуникации, опыте и понимании.

Конгруэнтность по Роджерсу, наоборот, является гармонией между пониманием, коммуникацией и опытом. Человек обладает высоким уровнем соответствия, если то, что он выражает, то, что делает и на что обращает внимание, практически совпадают.

Примеры конгруэнтности и неконгруэнтности

Конгруэнтность и неконгруэнтность человека им самим редко осознаётся. Но окружающие люди почти всегда замечают противоречивость поведения.

Сформированная конгруэнтность личности даёт много преимуществ. Человек ведёт себя естественно, он не чувствует дискомфорта при общении. Конгруэнтный человек выглядит уверенным в себе и привлекает окружающих. Обычно люди конгруэнтны, когда пребывают в согласии с самими собой, они не поддаются давлению со стороны и не позволяют собой манипулировать.

Мы легко распознаём конгруэнтность в общении, примеры из жизни помогут вспомнить похожие случаи.

Простой пример. Иногда люди хотят выглядеть расслабленными и беспечными, стараясь всячески это продемонстрировать. Но если человек в действительности не испытывает подобных ощущений, то его обязательно будут выдавать телесные признаки — скованные движения и напряжённый взгляд. Такое поведение неконгруэнтно.

Ещё пример — важное собеседование. Человек волнуется, хочет понравиться и произвести впечатление. Он старается, говорит быстро и в слишком высокой тональности. Согласно резюме, на собеседовании находится уверенный специалист, возможно — руководитель, претендующий на высокую должность, среди личных качеств которого указаны быстрая адаптация и стрессоустойчивость. Налицо — неконгруэнтное поведение, которое точно не добавит «очков» этому соискателю. Вот если этот человек демонстрировал заявленную уверенность в себе — расслабленные плечи, поднятая голова, ровное дыхание, прямая поза — в его поведении считывалась бы внутренняя слаженность и адекватность.

Неконгруэнтное поведение можно встретить у некоторых спикеров или лидеров групп людей. Часто такие «лидеры» по должности обязаны поднимать профессиональный дух, побуждать сотрудников к преодолению трудностей и мотивировать на достижение новых высот. Но «зажигательный» текст произносится при низком энергетическом уровне, сутулой позе, тихом голосе, зажатом дыхании и без необходимого огонька веры и поддержки в глазах. И поэтому такие выступления не обладают побуждающей силой и «не зажигают» слушателей для новых свершений. Любые слова и заявления воспринимаются положительно аудиторией лишь при условии, что выступающий сам верит в то, что говорит.

Или вспомните, насколько неестественно выглядят люди, которые хотят сымитировать радость, но радости при этом не ощущают. У тех, кто рад по-настоящему, поза более прямая, а голос всегда звучит чуть выше. Ещё искусственную радость можно увидеть по морщинкам в уголках глаз. При искренней или натужной улыбке анатомически используются разные мышцы. Естественная радость характеризуется появлением лучиков или морщинок в уголках глаз. При деланой улыбке эти лучики будут едва заметны.

Неконгруэнтность появляется от страхов, зависимости от мнения окружающих и несоответствия ожиданиям. Человеку иногда свойственно «казаться», а не «быть».

При такой ситуации люди будут пытаться демонстрировать высокий статус или свою высокую ценность. Но в действительности такой человек своими действиями и позами будет выдавать неуверенность, нервозность и внутреннее сопротивление.

Чтобы стать конгруэнтным и научиться располагать к себе других людей, есть полезная методика — «не сопротивляйся». Суть методики в том, чтобы не сопротивляться своим чувствам и эмоциям, не пытаться скрыть напряжение. Нужно задать себе вопрос — Как я себя чувствую? — и честно на него ответить. Далее необходимо вести себя в соответствии со своим внутренним состоянием.

Заключение

Теперь, когда значение слова конгруэнтность нам понятно, осталось отметить важность этого состояния в различных жизненных ситуациях.

Основной принцип конгруэнтности — быть честным и искренним по отношению к себе и окружающим, испытывая комфортные ощущения. В различных жизненных ситуациях конгруэнтность — это ценность, к которой стоит стремиться. В личной жизни конгруэнтный человек сможет выстроить отношения, основанные на доверии и искренности. В профессиональной сфере ваша конгруэнтность будет вызывать доверие, и желание сотрудничать с вами.

Эксперты утверждают, что начать врать себе и окружающим людям, очень легко. Когда мы пытались в детстве лукавить, родители говорили нам: «Не умеешь врать, не берись. Очень сложно поддерживать конгруэнтное гармоничнее поведение, если врать, юлить, скрывать что-то.

Конгруэнтная личность отличается целостностью и слаженностью. Гармоничное состояние, как правило, генерирует правильные действия.

При общении конгруэнтность человека повышает доверие к нему. Чтобы быть конгруэнтным, следует принять полностью состояние, в котором пребываешь. Например, общение будет естественным и комфортным, если человек находится в расслабленном состоянии и энергетически этому соответствует своими эмоциям и действиями.

• Быть конгруэнтным — значит быть естественным по максимуму, настолько насколько это возможно.
• Не нужно закрываться и прятать свои эмоции, если стремитесь к конгруэнтности.
• Проявите простоту и естественность. Все любят лёгких в общении собеседников.
• Не старайтесь копировать манеры и модели поведения других людей. Проявляйте эмоции, не стесняйтесь.
• Не пытайтесь преувеличивать свой статус и изображать придуманный успех.
• Если у вас есть слабости и комплексы, которые вы хотите скрыть, постарайтесь проработать их самостоятельно или со специалистом.

В процессе развития многим людям удаётся оценивать, контролировать и соотносить свои мысли, действия и эмоции. В этом случае общее внешнее состояние человека постепенно уравновешивается, и он выглядит конгруэнтным. Притом некоторые индивиды всю жизнь или не могут добиться равновесия между поступками и мыслями или вовсе не стремятся гармонизировать поведение.

☝️Закончу статью одной из цитат Карла Роджерса, автора теории конгруэнтности:

«Многие наши проблемы возникают, когда мы хотим оправдать ожидания других людей, вместо этого стоит определить наши собственные».Карл Роджерс

Каролина Кораблёва

Об авторе: Привет! Я — Каролина Кораблёва. Живу в Подмосковье, в городе Одинцово. Люблю жизнь и людей. Стараюсь быть реалистом и оптимистом по жизни.
В людях ценю умение себя вести. Увлекаюсь психологией, в частности — конфликтологией. Закончила РГСУ, факультет «Психология труда и специальная психология».

Мы в телеграм канале! Присоединяйся!

Конгруэнтность в психологии, общении, медицине

Конгруэнтность и неконгруэнтность показывают, насколько ваши действия согласованы с вашими мыслями и чувствами. Как часто вам приходится скрывать эмоции? Бывало ли так, что испытывая грусть или скуку, вы улыбались и пытались изобразить хорошее настроение. Наверняка такие попытки приносили дискомфорт. Почему? Можно ли научиться не прятать себя настоящего за масками?

Содержание

• Что такое конгруэнтность
• Наглядные примеры
• Причины неконгруэнтности
• Преимущества конгруэнтности
• Как достичь конгруэнтности
• Заключение

Что такое конгруэнтность

Значение слова «конгруэнтность» в психологии – честное и открытое выражение своих чувств, эмоций. Это полное совпадение мыслей и действий. Это состояние, когда все, что человек думает, выражается в его поступках, словах и жестах. Он не прячется за какой-то маской. Свободно говорит обо всем, что его тревожит. Даже если это серьезные переживания или проблемы.

В латинском языке есть слово congruō. Оно означает «я соглашаюсь, совпадаю». В английском языке congruence переводится как честность, открытость.

Автором понятия стал Карл Роджерс. По его мнению, конгруэнтность в общении, эмпатия и позитивное принятие личности в совокупности являются самым важным условием для психотерапевтического взаимодействия.
Синонимы конгруэнтности: совпадение, подлинность, аутентичность.

Интересно, что это понятие используется не только в психологии. Например, в религии конгруэнтность – это божественное состояние, неземное блаженство. Для того, чтобы ее достичь, нужно пройти специальные обряды.

В медицине конгруэнтность – это совпадение на 100% форм соприкасающихся поверхностей суставов. В математике — это равенство углов, фигур, отрезков.

Наглядные примеры

По определению конгруэнтность личности по Роджерсу это – это одна из характеристик общения между людьми. Существует масса примеров конгруэнтности:

• полная искренность;
• внутренняя гармония;
• целостность;
• совпадение слов и чувств;
• честность;
• отсутствие фальши.

В конгруэнтном состоянии человек всегда привлекателен для других. Он без труда найдет общий язык с любым собеседником. Для примера представьте молодого человека, которому понравилась девушка. Если у него развита конгруэнтность, он подойдет познакомиться, честно расскажет о своих чувствах. В противном случае парень будет скрывать симпатию, говорить на отстраненные и даже неуместные темы.

Что характеризует неконгруэнтных людей? Есть ряд признаков:

• часто врут;
• льстят окружающим;
• противоречат себе (демонстрируют радость при плохом настроении).

Такой человек никогда не показывает истинных чувств. Для него чужда искренность. И это отпугивает окружающих.

Причины неконгруэнтности

Почему некоторые люди пребывают в неконгруэнтном состоянии? В психологии выделяют 2 причины:

1. Стремление произвести на окружающих впечатление. Человек надевает маску, хотя на самом деле чувствует себя совсем по-другому. Он осознанно или на уровне подсознания быстро говорит, делает странные размашистые жесты, нервничает. Долго в таком ключе общение продолжаться не может. Оно приносит дискомфорт.
2. Попытки произвести впечатление игривого, расслабленного человека. В таком поведении есть серьезная проблема. Борьба с внутренним «Я», стремление показать себя с другой стороны приводит к эмоциональной усталости. Такое общение также быстро сойдет на нет. Его закончите либо вы сами, либо ваши собеседники.

В этот список можно добавить желание показать несуществующий высокий статус. Поначалу кажется, что все идет нормально. Но долго играть такую роль не получится. Несоответствие «маски» и реального положения вещей вызывает дисгармонию, внутреннее сопротивление.

Преимущества конгруэнтности

Соблюдение принципов конгруэнтности несет с собой массу преимуществ:

1. Вы ведете себя естественно. В любой ситуации остаетесь настоящим.
2. Не поддаетесь давлению со стороны. Не даете собой манипулировать.
3. Испытываете только здоровые эмоции.
4. Не чувствуете дискомфорт. Вы всегда расслаблены.
5. Привлекаете окружающих.
6. Вы становитесь уверенными в себе, поскольку ваши действия и мысли одинаковы.

Конгруэнтное состояние понадобится во всех сферах жизни. В бизнесе это качество помогает вести переговоры с партнерами. Во время публичного выступления открытостью вы сможете убедить слушателей в своей правоте. В личных отношениях конгруэнтность также сыграет вам на руку. Ведь лучшие отношения – это те, которые построены на доверии. А достичь его можно только с помощью искренности.

Как достичь конгруэнтности

Итак, что такое конгруэнтность по Роджерсу? Простыми словами это состояние, в котором человек максимально открыт перед окружающими, не скрывает чувства и эмоции, действует соответственно своим ощущениям. Как развить это состояние? Есть несколько способов:

1. Ни при каких обстоятельствах никому не лгите. Будьте честны и перед самим собой.
2. Проявляйте в общении простоту. Не пытайтесь быть тем, кем вы не являетесь на самом деле. Освободите себя от необходимости «напрягаться».
3. Будьте максимально расслабленными, естественными.
4. Не старайтесь быть похожими на других людей. Не копируйте их манеры, повадки, поведение.
5. Говорите ровно. Не нужно резко менять интонацию.
6. Не сопротивляйтесь чувствам и эмоциям. Примите свое состояние в данный момент.
7. Дайте себе возможность проявить эмоции. Не стесняйтесь показать, что вы чувствуете.

Для развития конгруэнтности психологи разработали эффективное упражнение — несопротивление. Вам нужно всего лишь пойти туда, где есть люди, и пообщаться с ними. Место должно быть спокойным.

Ваша цель – во всем проявлять естественность. Нервничаете и чувствуете тревогу? Не скрывайте даже такие эмоции. Проявляйте их. Но не в словах, а, например, жестами. И так абсолютно со всеми чувствами, ощущениями. Вам гарантированно понравится состояние конгруэнтности, ведь теперь не нужно играть какие-то роли. Вы тот, кем являетесь на самом деле.

В начале пути по развитию конгруэнтного состояния вы столкнетесь с определенными трудностями. Они связаны с нехарактерным для вас поведением, новым образом мышления и т.

д. Иногда может казаться, что изменения имеют обратное действие, и вы столкнулись с неконгруэнтностью. Но вскоре открытость и искренность станут привычными качествами, а конгруэнтное состояние нормой.

Заключение

Эффект конгруэнтности настроения в психологии – это термин, обозначающий легкость в общении, совпадение мыслей и поступков. Это качество нужно каждому человеку, ведь оно помогает быть самим собой, не прятать истинные чувства под какой-либо маской. Если вам его не хватает, попробуйте познакомиться со своим внутренним «Я», принять себя как личность. При этом будьте честны с собой и с окружающими. Не скрывайте то, что чувствуете. Это лучший способ наладить контакт с теми, кто находится вокруг вас.

Наши основные ценности: конгруэнтные отношения

Опубликовано 17 ноября 2021 г.

Конгруэнтные отношения — одна из наших основных ценностей, потому что наш бизнес в конечном счете касается людей и отношений — весь день, каждый день. Важно, чтобы в каждом партнерстве мы создавали настоящую связь.

• Наши клиенты ищут подходящего человека для своей команды – нет ничего более ценного, чем этот актив. Чтобы добиться успеха в рекрутинговых отношениях, необходимы заинтересованные беседы, совпадение мнений и 100-процентное согласование общих усилий для достижения конечной цели — найти подходящего человека для продвижения бизнеса наших клиентов.
• Наши кандидаты ищут того, кто верит в них и их поддерживает – в конце концов, смена работы может быть одним из самых стрессовых событий в жизни. Им нужен прямолинейный партнер, который скажет им все как есть, при этом проявив сочувствие и доброту.
• Наши партнеры по подбору персонала работают как единая команда, объединенная приверженностью нашим основным ценностям. Их искреннее желание помочь другим является последней частью нашей симфонии сетей и отношений, которая делает наш рекрутинговый бизнес максимально эффективным.

Конгруэнтные отношения — это аутентичность. Речь идет о работе с людьми, с которыми вы можете быть самим собой, где общение — это улица с двусторонним движением. И где у вас есть доверие и уверенность в том, что кто-то рядом, чтобы помочь вам достичь ваших целей.

Пусть наша команда Goodwin станет для вас такими людьми. Мы будем стоять рядом с вами, празднуя вас, когда эти связи объединятся, чтобы создать прекрасную гармонию успеха.

Наша команда процветает благодаря крепким отношениям, и для нас всегда большая честь слышать о множестве положительных впечатлений от наших Кандидаты , Клиенты и Рекрутинговые партнеры должны делиться.

 

Опубликовано в Советы по найму, Новости отрасли

Для всех трудолюбивых людей, которые уверены в своих навыках и опыте и убеждены, что смогут найти работу своей мечты. Вы перешли от агентства к агентству, дающему обещания, и не нашли своих исполнителей обещаний… Вам не нужно искать дальше, группа Goodwin пригласит вас, потратит время и усилия, чтобы отшлифовать ваши навыки, стряхнуть с вас пыль и повысить вашу квалификацию. Ваша следующая золотая возможность! Венди и ее команда великолепно подготавливают вас к идеальному положению и проводят вас через этапы развития ваших внутренних навыков и помогают вам стать тем, кем вы являетесь, и получить положение, о котором вы всегда мечтали. Они лучше!

Я был искренне впечатлен общением, тщательностью и быстрой доставкой кандидатов из Goodwin Recruiting. Их тяжелая работа проявляется в качественных кандидатах, которых они представляют.

Компания Goodwin упорно трудилась над тем, чтобы персонализировать рекрутинг для наших брендов. Они работали над тем, чтобы по-настоящему понять культуру и стандарты нашей организации, и использовали эту информацию, чтобы найти нужных талантов, чтобы представить их нам на открытые вакансии.

Вам необходимо сотрудничать с командой, которая знает ваш бизнес. Пользуюсь услугами Goodwin Recruiting более 6 лет. За это время я работал в двух разных компаниях с разными потребностями. Goodwin — ЕДИНСТВЕННАЯ компания, которую я привел с собой в свою нынешнюю компанию! Вам нужна команда, которая быстро реагирует. У меня такое с Гудвином. Вы не могли бы выбрать лучшего партнера по подбору персонала!

Работать с Goodwin Recruiting было здорово! Команда делает замечательную работу, представляя кандидатов, хорошо подходящих для нас. Они тратят дополнительное время не только на тщательное собеседование с кандидатами, но и на рассмотрение наших компенсационных и льготных пакетов, наших ожиданий и культуры. Делая это, Goodwin Recruiting дает мне возможность сосредоточиться на моих конкретных вопросах интервью, что делает процесс чрезвычайно тщательным.

Просмотреть все отзывы

3.1 Конгруэнтность

$\def\iff{\mbox{iff}}$

Как и многие концепции, которые мы увидим, конгруэнтность прост, возможно, вам знаком, но чрезвычайно полезным и мощным в изучении теории чисел. Если $n$ — натуральное число, мы говорим, что целые числа $a$ и $b$ равны конгруэнтно по модулю $n$, и писать $a\equiv b\pmod n$, если они имеют одинаковый остаток от деления на $n$. (по остатку из разумеется, имеется в виду уникальное число $r$, определяемое Алгоритм деления.) Это обозначение и многое другое элементарной теории конгруэнтности, обязан знаменитому немецкому математик Карл Фридрих Гаусс, конечно выдающийся математик своего времени и, пожалуй, величайший математик всех времен.

Пример 3.1.1 $\{…,-6,1,8,15,…\}$ конгруэнтны по модулю 7, потому что их остатки при делении на 7 равно 1. $\{…,-4,4,12,20,…\}$ — все конгруэнтны по модулю 8, так как их остатки от деления на 8 равны 4. $\квадрат$

Вот удивительно полезный результат.

Лемма 3.1.2 $a\equiv b\pmod n$ тогда и только тогда, когда $n|(a-b)$.

Доказательство. Разобьем доказательство на две части:

(только если) Если $a\equiv b\pmod n$, то существуют целые числа $q$, $q’$ и $r$, где $a=qn+r$ и $b=q’n+r$. Так $a-b=(qn+r)-(q’n+r)=(q-q’)n$, что означает $n|a-b$.

(if) Предположим, что $n|a-b$, поэтому существует $x$ с $a-b=xn$, то есть $a=b+xn$. Предположим, что $r$ — остаток от деления $n$ в $b$; нам нужно показать, что $r$ также является остатком на деление $n$ на $a$. Поскольку $b=qn+r$, имеем $a=b+xn=qn+r+xn=(q+x)n+r$. Таким образом, когда $n$ делится на $a$, остаток равен $r$ по желанию.$\qed$

Если значение $n$ ясно из контекста, мы часто пишем просто $а\экв б$. Конгруэнтность целых чисел имеет много общих свойств с равенством; мы перечисляем несколько здесь.

Теорема 3.1.3 Сравнение по модулю $n$ удовлетворяет следующему:

1. $a\equiv a$ для любого $a$;

2. Из $a\equiv b$ следует $b\equiv a$;

3. 2\экв 1$, поэтому он никогда не конгруэнтен $2$ или $3$. $\квадрат$

Пример 3.1.5 Найдите все целые числа $x$ такие, что $3x-5$ делится на $11$. Помещать в несколько более привычных терминах, мы пытаются решить конгруэнтность $3x\equiv 5\pmod {{11}}$ для $x$, как бы мы ни пытались решить уравнение для неизвестного. Предположим, что $3x\equiv 5$ и посмотрим, что это говорит нам о $x$. Так как $4\cdot 3=12\экв 1$, $$ 3x\equiv 5 \подразумевается 4\cdot 3 x\equiv 4\cdot 5\подразумевается 12x\экв 20 \подразумевает х\экв 9. $$ Итак, если $3x\equiv 5$, то $x\equiv 9$ или $x\in\{…, -13, -2, 9, 20, …\}$. Мы также хотим знать, что на самом деле все эти значения являются решениями, то есть если $x\equiv 9$, то $3x\equiv 5$. Это легкий. (Верно?) $\квадрат$

Пример 3.1.6 Вы, вероятно, знакомы со старым правилом («отбрасывание девяток»), согласно которому целое число делится на 9, если и только если сумма его цифр делится на 9. Вот доказательство. Предположим, что $x$ — некоторое положительное целое число, и когда мы записываем его в десятичной форме форма выглядит как $d_kd_{k-1}… d_1d_0$ (где каждый $d_i$ находится между 0 и 9i=1\pmod 9$ за каждый $я$. Это означает, что $$ х\эквив d_k+d_{k-1}+… +d_1+d_0 \pmod 9. $$ На самом деле это доказывает больше, чем нам нужно. Он говорит, что целое число и сумма его цифр конгруэнтна по модулю 9. В частности, одно конгруэнтно 0 (то есть делится на 9) тогда и только тогда, когда другое. $\квадрат$

Карл Фридрих Гаусс. Гаусс (1777–1855) был вундеркинд и, возможно, величайший математик всех времен (если такие рейтинги что-то значат; конечно, он был бы почти в всеобщий список пяти лучших математиков по таланту, достижения и влияние). Пожалуй, самая известная история о Гаусс рассказывает о своей победе над рутинной работой. Как рассказывает Карл Бойер История: «Однажды, чтобы занять класс, учительница учащиеся складывают все числа от одного до ста, инструкции, что каждый должен положить свой планшет на стол, как только он выполнил задание. Почти сразу же Карл положил планшет на стол, говоря: «Вот он!» учитель посмотрел на него пренебрежительно в то время как другие работали усердно. m p_1p_2\cdots p_r$, для любого $m\ge 0$ и различных 9п}+1$ для некоторого $n$. К сожалению, неизвестно, существуют ли бесконечное число простых чисел Ферма.)

Гаусс опубликовал относительно немного своих работ, но с 1796 по 1814 гг. вел небольшой дневник, всего девятнадцать страниц, содержащий 146 кратких заявления. Этот дневник оставался неизвестным до 1898 года. во многом широта его гения и его приоритет во многих открытия. Снова цитируя Бойера: «Неопубликованные меморандумы Гаусса висела, как дамоклов меч, над математикой первой половины девятнадцатого века. Когда произошло важное новое событие объявлено другими, часто оказывалось, что Гаусс идею ранее, но разрешил ей остаться неопубликованной».

Диапазон вклада Гаусса поистине ошеломляющий, в том числе некоторые глубокие и все еще стандартные результаты, такие как Quadratic Reciprocity Теорема и Основная теорема алгебры . Он посвятил большую часть своей дальнейшей жизни посвятил астрономии и статистике и сделал значительный вклад во многие другие области. Его зовут прилагается ко многим математическим объектам, методам и теоремам; студенты физики лучше всего его знают как тезку стандартной единицы магнитного поля. интенсивность, гаусс .

Информация здесь взята из История математики , автор Карл Бойер, Нью-Йорк: John Wiley & Sons, 1968.

Пример 3.1.1 Для заданных значений $n$ и $a$ найдите число $b\in \{0,1,… , n-1\}$, для которых $a\equiv b\pmod n.$

а) $n=7$, $a=30$

б) $n=9$, $a=69$

в) $n=2$, $a=123{,}472{,}461$

г) $n=6$, $a=-60$

д) $n=11$, $a=-63$

е) $n=17$, $a=-38$

Пример 3.1.2 Если $a=nq+r$, то не обязательно, что $r$ остаток от деления $a$ на $n$; например, $20=6\cdot2+8$, но 8$, конечно, не остаток, когда мы делим 20$ на 6$. В лемме 3.1.2 мы показал, что $a=(q+x)n+r$, и сделал из этого вывод, что остаток на деление $a$ на $n$ равно $r$. Объясните, почему этот вывод оправдан.

Пример 3.